Связь формализма Джонса с теорией операторов в двухмерном комплексном линейном пространстве

Алексеев Э. И. (nis229@ire216.msk.su)

Институт радиотехники и электроники РАН, г. Фрязино Моск. обл., пл. академика Введенского, д. 1.

1. Введение

Формализм векторов и матриц Джонса широко используется как в классической поляризационной оптике [1], так и при описании поляризационных характеристик одномодовых волоконных световодов (ОВС) [2]. В последнем случае возникает ряд поляризационных эффектов, не исследовавшихся ранее. Поэтому представляет интерес рассмотрение формализма Джонса с общих позиций, опираясь на теорию операторов (матриц) в двухмерном комплексном линейном пространстве [3].

Эксперименты по исследованию поляризационных характеристик коротких отрезков ОВС показывают, что при прохождении по ним излучения одномодовых лазеров они ведут себя аналогично идеальным эллиптическим фазовым пластинкам. Следует, однако, иметь в виду, что в реальных условиях, не всегда можно пренебречь дихроизмом ОВС. Более того, при изготовлении волоконных поляризаторов дихроизм ОВС специально увеличивают до максимальной величины. Ясно, что модель отрезка ОВС как идеальной фазовой пластинки в этом случае оказывается неприемлемой.

С формальной точки зрения аналогия отрезка ОВС с идеальной фазовой пластинкой означает, что матрица Джонса рассматриваемого отрезка ОВС является унитарной. При наличии дихроизма матрицы Джонса уже не будут унитарными. Поэтому ниже мы не ограничиваемся рассмотрением только унитарных матриц Джонса и используем общую теорию линейных операторов в комплексном унитарном пространстве [3].

2. Множество векторов Джонса как комплексное унитарное пространство

Состояния поляризации плоской монохроматической волны в классической оптике описываются векторами Джонса, компоненты которых являются комплексными амплитудами проекций вектора напряженности электрического поля на оси некоторой системы координат [1].Для описания поляризационных характеристик ОВС используются "обобщенные" векторы Джонса [2], компоненты которых представляют собой комплексные коэффициенты разложения электрической составляющей поля направляемой моды в данном поперечном сечении по поляризационным модам ОВС. Как множество обычных векторов Джонса, Ji, так и множество "обобщенных" векторов Джонса, J2, формально можно рассматривать как упорядоченные пары комплексных чисел. Эти множества замкнуты относительно умножения векторов на произвольные комплексные числа и операции их покомпонентного сложения. Таким образом, J1 и J2 представляют собой комплексные линейные пространства.

J1 и J2 изоморфны друг другу и, в сущности, представляют собой различные экземпляры одного и того же абстрактного линейного пространства J размерности 2. Чтобы использовать результаты классической поляризационной оптики, мы будем в дальнейшем чаще всего понимать под J пространство обычных векторов Джонса. В пространстве J для любой пары векторов a и b определяется скалярное произведение (a , b) [3], с помощью которого вводится понятие ортогональности векторов, ортонормированного базиса и т.д.

Векторы a и b, принадлежащие J, называются ортогональными относительно введенного скалярного произведения, если (a , b) = 0. В ортонормированном базисе

(a , b) = aibi* + a2b2*(1),

где ai и bi , i = 1, 2 - координаты векторов в выбранном базисе, а звездочка означает комплексное сопряжение.

Если под J понимать множество обычных векторов Джонса, то скалярный квадрат каждого такого вектора представляет собой (с точностью до множителя) интенсивность соответствующей плоской световой волны. С другой стороны, скалярный квадрат вектора a, принадлежащего J, определяет его норму N(a) = (a, a), причем норма вектора a положительна при a Ф 0 (0 - нулевой вектор). В результате J становится унитарным пространством, т. е. комплексным линейным пространством с положительно определенной нормой [3]. При прохождении света через не деполяризующую среду векторы Джонса претерпевают линейное преобразование. Поэтому действие такой среды на вектор Джонса характеризуется некоторым линейным оператором в унитарном пространстве J. Если в этом пространстве выбран какой-либо базис, то каждому такому оператору соответствует матрица размерности 2х2 с комплексными коэффициентами, которая в поляризационной оптике называется матрицей Джонса.

3. Матрицы Джонса, их свойства и классификация

Когда информация о полной фазе или интенсивности световой волны не представляет интереса, рассматривают нормализованные векторы и матрицы Джонса, описывающие только изменение состояния поляризации излучения [1]. Ниже мы будем иметь дело главным образом с нормализованными матрицами Джонса.

В поляризационной оптике важную роль играют так называемые теоремы эквивалентности, согласно которым произвольную матрицу Джонса не деполяризующей среды можно представить в виде произведения матриц Джонса более простого вида. Это соответствует представлению произвольной не деполяризующей среды в виде последовательного включения поляризационных устройств более простого вида, например четвертьволновых и полуволновых фазовых пластинок, ротаторов и т.п. [4, 5]. В работах

[6 -9] доказан ряд теорем о представлении комплексных 2х2 матриц в виде произведения более простых матриц, каждая из которых может быть матрицей Джонса некоторого поляризационного элемента. Заметим, что эти теоремы не вошли в известные монографии по теории матриц и относительно мало известны специалистам по поляризационной оптике.

Чтобы воспользоваться этими теоремами и интерпретировать их в терминах поляризационной оптики, необходимо классифицировать матрицы Джонса, т.е. определить, какого типа матрицами описываются различные поляризационные элементы и среды. С этой целью заметим [3, 6 - 9], что матрица A над полем комплексных чисел называется: нормальной, если она коммутирует со своей эрмитово сопряженной: AA+ = +AA, унитарной, если ее обратная матрица равна сопряженной: AA+ = +AA = I (I - единичная матрица), эрмитовой, если она равна сопряженной: A = A+, унимодулярной, если ее определитель равен единице: detA - 1, инволютивной, или просто инволюцией, если она совпадает со своей обратной: A = A-1 (или A2 = I), идемпотентной если ее квадрат равен исходной матрице:

2T

A = A, симметрической, если она равна своей транспонированной: A = A , ортогональной, если ее обратная матрица равна транспонированной: A-1 = AT. В этих выражениях крестиком обозначена операция эрмитового сопряжения. Заметим, что нельзя смешивать понятие нормальных матриц и нормализованных матриц Джонса, введенных в [1]. Что касается выбора базиса в J, то чаще всего мы будем использовать декартов базис. При этом вектор Джонса задается комплексными амплитудами проекций электрического поля волны на оси декартовой системы координат. В ряде случаев удобен круговой базис. Базисными

векторами при этом будут векторы Джонса лево- и правоциркулярно поляризованного света [1].

Нормализованные матрицы Джонса определены с точностью до скалярного множителя [1], который можно выбирать по-разному. Например, матрица Джонса идеальной эллиптической фазовой пластинки в собственном базисе, т.е. в базисе образованном ее собственными векторами, некоторыми авторами записывается в виде

D1 = diag [exp(i5), 1](2).

Другие используют более симметричную форму

D2 = diag [exp(i 5 /2), exp(- i 5 /2)](3)

Здесь 5 - относительная разность фаз двух собственных поляризаций пластинки, i -мнимая единица, а diag (..., ...) - диагональная матрица с элементами, перечисленными в скобках. Ниже, в зависимости от конкретной ситуации, мы будем использовать и (2) и (3).

Предположим, что нас интересуют свойства только полуволновых фазовых пластинок. Тогда с помощью матрицы (2) нетрудно показать, что нормализованная матрица Джонса полуволновой фазовой пластинки является унитарной инволюцией. Действительно, при 5 = пимеем Dn) = diag (- 1, 1) = R1, откуда следует R12 = I. Это соотношение остается в силе и в любом другом базисе, связанном с собственным базисом унитарным преобразованием. На самом деле, пусть U1 = VR1V - 1, где V - произвольная унитарная матрица. Тогда U12 = = VR1V - VR1V - 1 = VR1V - 1 = VV " 1 = I.

Докажем теперь обратное утверждение: произвольная унитарная инволюция второго порядка является матрицей Джонса некоторой идеальной эллиптической полуволновой фазовой пластинки. Итак, пусть R - унитарная матрица, такая, что R2 = I. Тогда

R = R - 1 = R+(4)

Далее, как и всякая унитарная матрица, R - унитарно подобна диагональной матрице с элементами, равными по модулю единице. Таким образом, R = VDV - 1, где D = diag [exp (i5 1), exp (i52)]; 5 1 и 52 вещественны, а V - некоторая унитарная матрица. Используя (4), а также свойство унитарности матрицы V, находим

VDV - 1 = (VDV - 1) + = VD+V - 1(5).

Отсюда следует, что R будет унитарной инволюцией, если только D = D+, т.е. если exp (i 5 1) = exp (- i 5 1) и exp (i 5 2) = exp (- i 5 2), а это возможно лишь когда 5 1 = ± k п, 52 = ±тп, где k, m = 0, 1, 2, .... Учитывая это условие, можно представить матрицу D в виде D = diag[(-1)k , (- 1)m], откуда видно, что при четных k и m D = I и, следовательно, R есть обычная инволюция (R = I). При нечетных k и m D = - I и R = - I (т.е. R совпадает с обычной инволюцией с точностью до знака). При значениях k и m различной четности D = ± diag ( - 1, 1), и совпадает, с точностью до знака, с матрицей Джонса полуволновой пластинки, записанной в собственном базисе. Поэтому матрица R = ± Vdiag (- 1, 1)V - 1 будет матрицей Джонса полуволновой фазовой пластинки в произвольном ортонормированном базисе.

Нам понадобится в дальнейшем явное выражение для нормализованной матрицы Джонса идеальной эллиптической фазовой пластинки. Ее запись в инвариантной (справедливой в произвольном базисе) форме без учета произвольного скалярного множителя имеет вид [1]:

U = (1 + хх*) !м,

(6),