Подобие вихревого и магнитного полей

Васильев С. В. (vasilyevsv@mail.ru) Институт Автоматизации Проектирования РАН

Введение

Представления об электромагнитных явлениях как о вихревых движениях жидкости были сформулированы Гельмгольцем [1, 2], В.Томсоном [3-8], Чеинсом [9], а также некоторыми другими авторами [10-17]. В XX столетии подобные идеи высказывались Дж.Томсоном [18, 19], Н.К.Кастериным [20], В.Ф.Миткевичем [21-26] и другими авторами [27, 28]. Но основной вклад в теорию электромагнетизма сделан, разумеется, Максвеллом [17], который выписал уравнения электромагнитного поля, базируясь на представлениях Гельмгольца о вихревых движениях идеальной жидкости, под которой Максвелл подразумевал мировую среду, заполняющую пространство.

Однако все выдвинутые гидродинамические модели электромагнитных явлений имеют существенные недостатки. Первым таким недостатком является то, что согласно известным гидродинамическим моделям при поступательных движениях тел в пространстве должны наблюдаться дополнительные электрические или магнитные эффекты, которые реально не наблюдаются.

Практически все гидродинамические модели электромагнитных явлений можно разбить на две группы. В первой группе моделей магнитное поле рассматривается как проявление поступательного движения, а электрическое поле - как проявление вращательного (вихревого) движения жидкости. Такой точки зрения придерживались, в частности, Гельмгольц, Чеинс, В.Томсон, Дж.Томсон, Н.П.Кастерин. Во второй группе моделей магнитное поле рассматривалось как проявление вихревого движения жидкости, а электрическое поле - как проявление поступательного движения. Этой точки зрения придерживались, в частности, Максвелл и Миткевич.

В пользу последних представлений свидетельствовало, в частности, открытое Фарадеем явление поворота плоскости поляризации света в магнитном поле.

В моделях первой группы представление о магнитном поле как о поступательном движении жидкости приводит к выводу о возникновении магнитного поля при любом движении в жидкости, чего на самом деле нет, и что вызывало справедливую критику со стороны авторов второй группы моделей. В моделях второй группы представление об электрическом поле как о поступательном движении жидкости приводит к выводу о возникновении электрического поля при любом движении в жидкости. Однако этого явления также не обнаружено.

Вторым недостатком существующих моделей оказалась бедность класса использованных движений жидкости. Эта бедность явилась следствием представлений Гельмгольца о движениях идеальной среды, согласно которым вихрь не может ни появляться, ни исчезать. Таким образом, вопрос о возникновении вихревых движений не возникал. Между тем известно, что вихри могут и появляться, и исчезать.

Использованные в гидромеханических моделях представления о движениях жидкости привели к парадоксам энергии (при рассмотрении движений жидкости вокруг вихревых столбов): энергия единицы длины вихря равна бесконечности. В электродинамике имеется парадокс, аналогичный рассмотренному: энергия единицы длины проводника с током равна бесконечности. Правда, поскольку одиночного проводника не существует, появляется возможность разрешения этого парадокса за счет рассмотрения всей конструкции в целом, включая обратный проводник, тогда этот парадокс разрешается. Тем не менее, парадоксального положения не должно

существовать ни для какой системы, в том числе и для условного одиночного проводника.

Рассматриваемая ниже модель строится на постулате подобия вихревого и магнитного полей и не требует дополнительного постулата о подобии электрического поля и поля скоростей жидкости. Кроме того, не исключаются из рассмотрения течения жидкости с возможностью появления и исчезновения завихренности даже при отсутствии стандартно понимаемых эффектов вязкости.

Заметим, что впервые об эффекте появления (исчезновения) завихренности в идеальной несжимаемой жидкости было заявлено в работах [29, 30], где показано, что этот эффект оказывается связан с фазовым переходом второго рода, когда агрегатное состояние не меняется, но изменяется внутренняя структура (внутреннее движение) жидкости.

1. Подобие вихревого и магнитного полей

Выпишем уравнение Эйлера движения несжимаемой жидкости [31]:

- + (и-V)u + V p

0.

V

(1.1)

Здесь приняты следующие обозначения: t - время;

V - оператор Гамильтона; в цилиндрических координатах (x , r , р ):

дx дr r дрJ

й - скорость жидкости; в цилиндрических координатах: й = (и, v, w); р - давление в жидкости, делённое на её постоянную плотность;

w - окружная составляющая скорости, которую условимся называть кручением в случае осесимметричного потока; Как известно, условие несжимаемости жидкости выглядит следующим образом:

V-й = 0.

Запишем уравнение Эйлера (1.1) в форме Громеки-Лэмба:

(1.2)

Iй + v(.-2/2 + p)

д t

= и ха

(1.3)

где а = Vx и - поле вектора вихря.

Уравнения электромагнитного поля Максвелла в ненамагничивающейся неполяризующейся среде (жидкости) запишем в системе единиц Лоренца-Хивесайда [32]:

Vx E + !дВ = 0

c д t

Vx B

1 ie

c д t

1 /

(1.4)

V- B V- E

Здесь приняты следующие обозначения:

E - электрическое поле;

В - поле магнитной индукции;

I - плотность электрического тока; q - плотность электрического заряда. с - скорость света в вакууме.

Третье уравнение системы (1.4) позволяет определить векторный потенциал A электромагнитного поля (по магнитной индукции В ) следующим образом:

i VX A = В(1.5)

I V- A = 0

Второе уравнение системы (1.5) - это калибровочное условие, уменьшающее произвол в выборе векторного потенциала.

Заметим, что система уравнений (1.5) полностью аналогична системе уравнений Гельмгольца для определения поля вектора скорости и по известному полю вектора вихря ё :

Г Vxи = ё

\(1.6)

Таким образом, система уравнений (1.5) переходит в систему уравнений (1.6), если предположить подобие поля вихря магнитному полю, а поля скорости - полю векторного потенциала, т. е.

и = a A

ё = aB(1.7)

a = const

Первое уравнение системы уравнений Максвелла (1.4) позволяет представить электрическое поле Е через векторный А и скалярный ср потенциалы электромагнитного поля:

E = - Vp - Х-dA.(1.8)

c д t

Систему уравнений Максвелла будем рассматривать совместно с законом Ома о подобии (сонаправленности) тока проводимости i и пондеромоторной напряжённости электрического поля e [32]:

i = I - q и

e = E + - x В(1.9)

c

i = о e

где и - по-прежнему, поле вектора скорости проводящей среды, о - электрическая проводимость среды.

В сверхпроводнике 1/о = 0, e = 0 и E =--х В.