Плотность состояний приповерхностных электронов кристалла в постоянном электрическом поле.

Пейсахович Ю.Г.( e-mail: ygp@nspu.nsu.ru) Новосибирский государственный педагогический университет

1 Введение.

Одной из важных задач физики твердого тела является изучение структуры волновых функций и энергетического спектра электронов в кристалле мезоскопическо-го размера при наличии внешних статических полей. Во внешнем электрическом, магнитном поле, при неоднородных деформации или профиле легирования характерная длина изменения непериодической части потенциальной энергии электрона в объеме может быть порядка длины решетки. С ростом напряженности такого внутреннего поля делаются все менее эффективными применение периодических граничных условий и разложимость огибающих решений в тригонометрические ряды Фурье с основной гармоникой периода длины решетки, использование квазиимпульса и связанного с ним однородного фазового К-пространства с ячейкой на одно квантовое состояние по объему равной обратному объему кристалла.

В нашей работе [1] было показано, что при включении постоянных скрещенных магнитного и электрического полей разрушение однородности К-пространства начинается с границ зоны Бриллюэна, описывается сильной сингулярностью метрики обратного пространства по расстоянию от Брэгговской плоскости, и этот коллапс ведет к особенности в плотности состояний.

Сильнее всего электрическое поле влияет на состояния, волновые функции которых имеют самые длинноволновые огибающие и по энергии находятся вблизи порогов зон, в полосе ширины ей, где и - приложенная разность потенциалов. Электроны в этих состояниях оказываются наиболее прижатыми к границе, их формальное описание весьма напоминает описание таммовских поверхностных состояний [2]. Однако, в отличие от таммовской, поверхностная локализация в электрическом поле имеет место даже для бесконечно высокого потенциального барьера у границы.

Подчеркнем, что рассматриваемый нами случай слабого поля противоположен пределу очень сильной связи в узлах и сильного электрического поля, который приводит к спектральной лестнице Ванье-Штарка и в последнее время широко обсуждается в связи с экспериментами в полупроводниковых сверхрешетках [3]. Наша ситуация типична для металлов или полупроводников, когда, при достаточно слабой связи электронов с решеткой, из-за экранировки поля или столкновений с границами, примесями и другими дефектами в объеме на длине свободного пробега нельзя создать большую разность потенциалов, передающую электронам энергию, сравнимую с шириной зоны.

Уменьшение плотности состояний на порогах зон существенно изменяет аналитический характер ван-хововских особенностей, причем вид этих особенностей определяется не только размерностью решетки, но и очень сильно зависит от величины и ориентации внешнего электрического поля относительно кристаллографических осей . Предсказываемые зависимости проявляются в межзонной плотности состояний и доступны экспериментальной проверке по оптическим [4] и фотоэмиссионным [5] спектральным распределениям.

Выявленные особенности могут составить основу дополнительного механизма, объясняющего отклонения от линейного закона Ома в висмуте [6],[7] и некоторых полупроводниках [8]. Подробнее этот механизм будет обсужден в следующей статье [9].

2 Выбор модели.

Рассмотрим одномерную модель кристалла в статическом внешнем поле. Потенциальную энергию электрона представим в виде

U(x) = U0(x) + Vs(x) + V(x)(1)

где Uo (ж) -периодическая часть энергии взаимодействия электрона с решеткой, состоящей из N ячеек с периодом элементарной трансляции d} Vs(ж) описывает барьеры на границах при ж < 0 и ж > Nd, a V(x) - непериодическое возмущение. Для стационарного уравнения Шредингера значения решений ф(х) в двух точках х\ и ж2 связаны трансфер-матрицей

Матрица перехода МХ2Х1 выражается через матрицы Вронского фундаментальной системы решений ф\(х) и ф2(х)}взятые в х\ и ж2 [1],[10]

Будем рассматривать состояния с энергией ниже потенциальных барьеров на границах, которые считаем прямоугольными и расположенными при х\ = жд < 0 и х2 = хя > Nd. Подставляя в (2) связанные с ними граничные условия ф = Х1Ф0 и ф = -ХгФй (xi и Хг ~ коэффициенты экспоненциального затухания под барьерами) имеем уравнение на спектр энергии

D(M) = М21 + х/М22 + XrMn + XiXrM12 = 0(4)

в котором Mij(i,j = 1, 2) -элементы трансфер-матрицы М = MfjNM]y0M0Q} где выделены матрицы перехода через нерегулярные приграничные участки (0,0) и (N}N)} как и XhXr они происходят от потенциала Vs(x) кристалла.

3 Энергетические зоны и таммовские поверхностные состояния.

Если непериодическое поле отсутствует V(x) = 0, то матрица перехода М = Мо на период решетки d является матрицей монодромии [11] для уравнения Шредингера. Ее целая степень выражается формулой Абеле [10]

Мп = Un-1(t)M-Un-2(t)I, I I 1 S..\/(5)

где /-единичная матрица, а коэффициенты равны полиномам Чебышева 2-го рода [12]

sin Knd

Un-i(t) = --, \t\ < 1, Kd = arccos t(6)

sin A a

(tJEt)"-1, t>l, Kd = ln(\t\ + /\t\2-l)(7)

Волновую функцию в узле решетки х = nd получаем из

(I) п = МПМ™ ( -xi) Ф" = Mn~NM (I) фм(8)

то есть а) собственное решение устойчиво в зоне с комплексными значениями на единичном круге характеристических показателей мультипликаторов (логарифмов собственных значений М)[4], когда \t\ < 1 и огибающая волновой функции осциллирует с периодом 2пК~1, б) собственное решение неустойчиво, но может произойти таммовская локализация у граничных поверхностей для действительных значений характеристических показателей после их столкновения, когда \t\ > 1, характерная длина экспоненциального затухания огибающей вглубь кристалла Дж = К-1. . Это справедливо для любой формы периодических барьеров Uo (ж) при длине кристалла L = Nd меньше длины свободного пробега электронов относительно неупругих процессов рассеяния.

Поскольку Mjvo = MN, то спектральное уравнение (4) можно записать в виде

UN.l(t) = AUN-2(t), Д = D(m0)D(m)~1(9)

m = Д/\ \ .\М/„„. m0 = \/ч \ \/(И,

а) при \t\ < 1 в зонах устойчивости это дает

sin(AМ + в(К)) = 0(10)