Квантование конформных и аффинных систем Тоды

Зуевский А.Б.

Факультет Теоретической Математики, Вайцмановский Институт Науки, Реховот, 76100, Израиль

1 Введение

Двумерные интегрируемые теории поля привлекали в последние десятилетия большое внимание исследователей - не только специалистов в этой области, математиков, но и физиков, работающих в других областях [1-9]. Интерес к этим теориям возникает со многих точек зрения. Подобные системы являются важным средством в понимании основных непертурбативных аспектов физических теорий. Несмотря на то, что размерность пространства, на котором вводится большинство интегрируемых систем, заведомо менее четырех, можно рассматривать интегрируемые теории как лабораторию по разработке новых методов и по проверке предположений, которые применимы в других областях физики. При этом многие явления выглядят значительно проще. В некоторых случаях, интегрируемые системы выступают в роли реалистических моделей явлений физики конденсированных состояний [10], статистической физики [11], общей теории относительности [12], решеточных теорий поля [13] и физики высоких энергий [6,14,15]. Интегрируемые модели неожиданно проявились также в описании зависимости констант связи низкоэнергетических действий суперсимметрических теорий Янга-Миллса в четырехмерии. Двумерность интегрируемых теорий естественна также с точки зрения теории струн [7,8].

Важность двумерных интегрируемых систем заключается также в том, что как в классической, так и в квантовой областях они представляют собой красивые примеры теорий, имеющих богатую алгебраическую структуру. Именно в двумерии особенно явно проявляется алгебраический характер интегрируемости и происхождения специальных, в частности солитонных, решений [16]. Однако, как было показано в [17], можно построить многомерные обобщения точно интегрируемых систем. Кроме того, на примере двумерных интегрируемых систем можно развить некоторый алгебраический аппарат, состоящий из специальных объектов классической и квантовой теорий поля, для того, чтобы проще и нагляднее описать структуру теории и ей наблюдаемые. Различные специальные (в частности, солитонные и инстантонные) решения двумерных теорий возникают в моделях квантовой теории поля [1, 18].

Исследование алгбраических основ классических и квантовых двумерных точно интегрируемых систем приводит также к интересным результатам как в теории классических

(бесконечномерных) алгебр и групп Ли, так и в теории q-деформированных структур. В частности, [19], некоторые отдельные главы теории алгебр Каца-Муди были разработаны под влиянием конкретных примеров солитонных систем уравнений. Алгебраические конструкции, используемые в теории классических интегрируемых систем нашли применение в различных разделах современной математики.

В квантовом случае ситуация в некотором смысле аналогична. Вопросы построения и решения квантовых интегрируемых систем приводят к интересным темам в структурной теории деформированных универсальных обертывающих алгебр Ли [20-22]. Кроме того, некоторые объекты квантовых групп могут быть построены на основе специальных конструкций, возникающих в квантовых интегрируемых системах. Отдельным, не до конца ясным вопросом, например, остается вопрос о выделении главной гейзенберговой подалгебры квантованной универсальной обертывающей Uq(g) аффинной алгебры Ли д. Существует возможность это сделать, вводя специальные операторы градуировки. Главная квантовая гейзенбергова подалгебра обязана играть особенно важную роль не только в теории квантовых аффинных систем Тоды, квантовых статистических моделях, но и в других областях теоретической физики.

Можно было бы выделить также задачу отыскания квантово-групповой структуры некоторых объектов квантовых двумерных теорий, которые могли бы соответствовать специальным решениям (солитонным или инстантонным) в классической теории [9]. Это вызывает особый интерес, поскольку солитоны можно, до некоторой степени, интерпе-тировать как частицы теории. Прояснение вопроса о том, что можно неформально называть квантовым солитоном, помогло бы понять реальную динамику моделей, содержащих солитонные решения.

На примере конформных, конформных и аффинных систем уравнений Тоды в классической и квантовой областях [1-4,16,23-31] мы исследуем наиболее важные свойства двумерных точно интегрируемых систем, применяя методы теории деформированных универсальных обертывающих алгебр Ли. Классические конформные и аффинные системы Тоды относительно просты в смысле их построения и интегрирования. Не смотря на то, что большая работа была проделана в этой области, множество вопросов остаются открытыми и интерес к системам Тоды не потерян. Системы Тоды имеют приложения во многих разделах математики, в частности, в алгебраической геометрии [2,32]. На примере этих теорий, можно проследить проявления алгебраических структур в двумерных точно интегрируемых системах. Особое внимание к аффинным системам Тоды вызван существованием солитонных решений и их алгебраической интерпретацией.

В пионерской работе [16] общее решение классических аффинных систем Тоды было построено на основе теоретико-группового метода [1]. Из общего решения можно выделить солитонные решения. Построение основано на существовании главной (однородной) гейзенберговой подалгебры соответствующей аффинной алгебры Ли д.

Конкретные примеры классических и квантовых конформных и аффинных систем Тоды интересны как с алгебраической точки зрения так и в смысле приложений в теоретической физике. Среди аффинных систем Тоды случай уравнения sin-Гордон, который соответствует аффинной алгебре Ли si1} является наиболее разработанным. Это

уравнение интересно со многих точек зрения и возникает в теории конденсированного состояния [10], нелинейной оптике [6], космологии и общей теории относительности [33], а также в дифференциальной геометрии и других областях современной математики [3,4,6,15,34].

Квантовые конформные или аффинные теории поля Тоды на компактном (цилиндр) или некомпактном пространстве (двумерная плоскость) могут быть введены различными способами [23,24,27,36-49]. В данной работе мы будем касаться только случая некомпактного пространства. Основным из подходов к квантованию является формализм светового конуса [46,47]. Возможны также и пертурбативные вычисления [44], совпадающие с квантово-групповыми [45].

Общая идея, реализуемая в работе состоит в том, чтобы, по аналогии с достаточно проработанным теоретико-групповым (алгебраическим) подходом к классическим точно интегрируемым системам, развить общий квантово-групповой подход к квантовым аналогам точно интегрируемых систем. Мы рассматриваем только двумерные системы, но, в перспективе, подобный подход может быть примемен и к многомерным системам. Новый метод разрабатывается на примерах квантовых конформных и аффинных систем Тоды. Прежде всего нужно определиться с методами квантования таких систем. При этом необходимо сформулировать способ построения квантовых уравнений, способ отыскания общих (и классов специальных частных) решений, проработать вопросы обоснования, а также алгебраические аспекты построения данных теорий.

В этом направлении, базой для исследований могут быть некие q-деформированные алгебраические структуры, например квантованные универсальные обертывающие [22,52,54], янгианы [53], квантовые дубли, квантовые алгебры. Как показывает практика, в квантовой области уже недостаточно классических алгебраических (групповых) структур, скажем, алгебр Каца-Муди, для того, чтобы корректно построить теорию. В случае квантовых конформных и аффинных систем Тоды, естественной идей (подтверждаемой некоторыми предварительными результатами [44,45]) было бы рассмотрение квантовых групп в качестве алгебраических структур, лежащих в основе теоретико-группового подхода. Подобные идеи появились достаточно давно, но не получили развития и не подвергались соответствующей проработке.

2 Системы Тоды в классической области

В этом разделе мы напомним, как на основе алгебр Ли строятся конформные и аффинные абелевы системы Тоды, а также выпишем общие решения этих систем.

2.1 Конформные системы Тоды

Пусть АЛ - двумерное многообразие (R2 или С1) со стандартным координатами z±; в случае С1 мы полагаем, что z~ = (z+)*. Пусть G - комплексная простая группа Ли ранга г с алгеброй Ли д, снабженной главной градуировкой. В разложении g = (BmezQm