Сферически-симметричный теплоперенос в мантии

Степанов А.А. (stepsoft@yandex.ru), Старченко С.В.

Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П.А. Соловьева

Введение

Главные тепловые источники в мантии Земли - это запас тепла, оставшегося еще со времен раннего расплавленного состояния, и тепло, образующееся при распаде радиоактивных элементов. Усредненное содержание радиоактивных элементов в земной коре не превышает тысячных долей грамма на килограмм породы, однако генерируемый ими тепловой поток оказывает существенное влияние на тепловые свойства Земли в целом [1, 2]. Если бы внутри Земли радиоактивные вещества содержались бы в тех же пропорциях, что и в поверхностных горных породах, то температура в недрах стала бы не падать, а расти, и мантия была бы полностью жидкой, что противоречит современным представлением. Поэтому, следуя [8, 9] считаем, что радиоактивных изотопов пренебрежимо мало в верхней и в нижней мантии. Используемое нами из [1] содержание радиоактивных изотопов в коре: калий 40К - 235 ppm, торий 232Th - 76.4 ppb, изотоп урана

235238

U - 0.14 ppb, изотоп урана U - 20.1 ppb. Удельная теплотворная способность изотопов и постоянная распада: 3.47-10-3 мВт/кг и 5.54-10-10 1/год для 40К, 26.4 мВт/кг и 4.95-10-11 1/год для 232Th, 4.04 мВт/кг и 9.85-10-10 1/год для 235U и 94.0 мВт/кг и 1.55110-10 1/год для 238U.

О тепловом запасе недр Земли можно судить по распределению температур. Наиболее надежными считаются определения температур основанные на температурах плавления глубинных недр. Современная техника еще не в состоянии прямо смоделировать соответствующие условия, экстраполируя результаты экспериментов, выполненных с использованием ударных волн. Поэтому расхождение моделей распределения поля температур находится в пределах одной - двух тысяч градусов [5, 6, 7]. Среди этих моделей наибольшую температуру плавления 8240 K в центре Земли дает Вильямсон и др. [5], а Бухлер [7] дает наименьшую температуру - 5150 K. Расчетные значения температур плавления берутся несколько ниже в связи с присутствием легкого компонента, причем отклонение может составлять от 500 до 1000 K [2]. Вместе с тем существуют и достаточно уверенно определяемые необходимые нам средние современные значения теплофизических величин представленные в таблице 1 и в таблицах 2-3 далее.

Таблица 1 - Уверенно определяемые теплофизические константы Земли

Существенное влияние на тепловое состояние Земли оказывает тепловой поток Q (см. табл.1) с ее поверхности, который определяется достаточно уверенно [2]. Не менее

важная величина теплового потока из ядра в мантию во многом определяется конвективными процессами, происходящими в ядре, интенсивность которых в свою очередь влияет на величину генерируемого в нем магнитного поля. Различия в оценке этого теплового потока из ядра Земли лежат в пределах от 3 до 20 ТВт (1 ТВт = 1012 Вт), как отмечалось еще в [4]. И до сих пор эта определяющая генерацию Главного геомагнитного поля величина остается также плохо определенной [10, 11, 12, 13].

В работах [2, 16] уже строились самосогласованные модели теплового состояния сферически симметричной Земли, опирающиеся на модели температур плавления и зависимости между безразмерными термодинамическими и теплофизическими параметрами. Недостатком подобных работ является использование параметров мало связанных с условиями в глубинных недрах Земли. В других работах [17, 18] моделируется прямая задача эффективного теплопереноса, причем авторы задают как распределение радиоактивных источников, так и величины эффективной теплопроводности. В настоящее время этот подход получил свое развитие в работах посвященных численному моделированию тепловой конвекции в мантии Земли [19, 20, 21, 22, 23, 24]. Однако в подобных работах сферически симметричный теплоперенос в мантии фактически задается изначально через фиксированные источники тепла, температуры и/или тепловые потоки у границ мантии.

Цель этой работы - определение полностью самосогласованной долговременной (на временах до нескольких сотен миллионов лет) модели сферически симметричного теплопереноса в мантии, развивая идеи работы [15]. Предполагаемый результат

моделирования - физически ясная зависимость теплопереноса от малого числа таких параметров, которые могут оцениваться и уточняться независимо. Основой модели являются значения температур фазового перехода между оболочками Земли и величина теплового потока с ее поверхности. В результате достоверно оценивается связь между интенсивностью конвективных процессов теплопереноса в мантии, величиной теплового потока из ядра и средним содержанием радиоактивных источников тепла в коре Земли.

1. Приближенное решение уравнений теплопереноса

В самом простом случае, используя эффективную теплопроводность [25], Землю можно представить в виде сферических слоев, обладающих постоянными теплофизическими свойствами. Тогда задача об охлаждении Земли сводится к решению уравнения теплопроводности для сферического слоя с постоянными значениями удельной массовой теплоемкости cp, теплопроводности к и средним для слоя значением плотности

р

дтcpp

где a = к/cpp - температуропроводность; Т - температура; qv(r, т) - функция

объемной мощности внутренних источников тепла, r - радиальная координата, т -время.

В качестве граничных условий на внешней границе слоя Ro, исходя из достаточно

достоверно известных данных, зададим изменяющиеся во времени величины температуры и теплового потока. Т.о. граничные условия будут иметь вид

t(ro,t)-(t), рдг1-#

Условие ( 3) соответствует заданию теплового потока

Q(R.)=-4П;( r =¥(т).

Начальные условия, когда т = 0 :

Т (r,0) = f (r ).(4)

Для получения аналитического решения задачи представим все функции (температура и тепловой источник) в уравнении (1) в виде разложения в ряд Тейлора по времени:

Т(г,т) = Т0 (r) + 71 (r )т + Т2 (r )-т2 +... + Тп (r )-т" +(5)