Факторизация матриц матрицами Фробениуса

Воронов А.Л., Орлов И.И. (iiorlov@mail.ru)

Институт Солнечно-Земной Физики СО РАН, г. Иркутск

1. Введение.

Большинство прямых методов обращения матриц используют разложение матрицы в произведение легко обращаемых сомножителей [1]. Типичным и достаточно распространенным методом обращения матриц является метод Жордана. В данной работе рассмотрен иной способ факторизации матриц, основанный на использовании матриц Фробениуса.

Введем основные обозначения. Пусть F - матрица фробениусова типа, что соответствует представлению ее в видеF = e2,e3,...,en,f [2], где ek вектор-столбцы

канонического базиса, то есть вектора с координатами (ek)p = ekp = skp. Здесь skp -

символ Кронекера. Считаем, что вектор-столбец f имеет координаты fk . В этом случае

определитель матрицы F равен (-1 )n+1 f1, следовательно, при условии f1 Ф 0 матрица F будет обратимой. Обратная матрица для матрицы F может быть записана в виде

F

-1

f,e1,e2 ,...,en-1j, где элементы вектор-столбеца f = (f1,f2,...,fn) определяются по формулам

Ju =-fk+1/f1, k = 1,(n-1),Jn = 1/f1.(1)

Действие матрицы F справа на некоторую матрицу A = a1,a2,...,a[, где ak вектор-столбцы, сводится к сдвигу вектор-столбцов матрицы A влево на одну позицию и образованию нового ( n -го) столбца по правилу

n

AF = \\a2,a3,...,an,an\\, an =S akfk.(2)

k=1

Здесь ak = (a1k,a2k,...,ank) - вектор-столбцы, а A = lai1. Легко проверить, что имеет место равенство

detF1F2...Fm = (-1)m(n+1> П f1(k), Fk =\e2,e3,...,en,f(k)\.(3)

k=1

и, как следствие из него

detF1F2...Fn =П f((k).(4)

k=1

2. Условия представимости матриц в виде произведения Фробениусовых матриц.

A

(5)

Здесь

A21

1,2,.

., m

1,2,...,n - m

, A12

m + 1,m + 2,..., n { 1, 2, ...,n - mj

1, 2, ...,m

n - m + 1,n - m + 2,..., n j

f m +1, m + 2, ...,n n - m + 1,n - m + 2,..., n

(6)

, A

22

В формулах (6) индексы в верхнем ряду указывают на номера строк исходной матрицы, использованные при образовании соответствующего блока, а нижние индексы - на номера столбцов. Обозначим также через Dm определитель матрицы A12 размера m х m

detA12 = Dm = D\

12m

1, 2, ...,m

(7)

n - m + 1,n - m + 2,...,

Так как при умножении матрицы на фробениусову справа столбцы исходной матрицы смещаются влево на одну позицию, то матрица A21 будет единичной матрицей размером (n - m) х (n - m), а прямоугольная матрица A11 будет нулевой. Поэтому, в силу теоремы Лапласа о вычислении определителей через миноры и алгебраические дополнения к ним [3], имеем

mm

detA = (-1)m(n-m)Dm = (-1)m(n+1)П f((k), и Dm =Ц f(k>.(8)

k=1k=1

При последовательном перемножении матриц фробениусового типа квадратная матрица, стоящая в правом верхнем углу, смещается влево и увеличивается в размерах на единицу. Тем самым показано, что все определители Dk главных миноров матрицы A = F1F2 ...Fn отличны от нуля.

Известно, что все матрицы с не нулевыми определителями Dk образуют множество регулярных матриц Greg [4]. Такие матрицы могут быть представлены в виде произведения верхней и нижней треугольных матриц [5]. Кроме того, множество Greg

Покажем, что для матриц фробениусова типа имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть матрица A представима в виде произведения n фробениусовых матриц. Тогда все определители главных миноров матрицы A ненулевые. Обратно, если все определители главных миноров матрицы A не нулевые, то матрица A представима в виде произведения n матриц Фробениуса.

Доказательство. Пусть A = F1F2...Fm. Введем следующие обозначения, представив матрицу A в блочной форме,

(A A \

к A21 A22 j

всюду плотно в множестве не особых матриц G . Так как матрицы фробениусового типа F характеризуется n параметрами, то множество таких матриц (f1 0 ) будет системой образующих для множества Greg и, следовательно, по непрерывности для множества

G всех обратимых матриц.

Докажем теперь обратное утверждение, заключающееся в том, что любая регулярная A матрица (размером n х n) представима в виде произведения n матриц Фробениуса. Для этого будем искать такую обратную матрицу к матрице фробениусового типа F- (не особую), действие которой на матрицу A справа приводит к смещению всех столбцов вправо на одну позицию, а в качестве первого столбца для новой матрицы A1 дает столбец en - один из векторов канонического базиса. В этом случае, если

обозначить первый столбец F- через , то задача сводится к уравнению AF1-1 = A1, где

A = \\d1,a2,...,dn\\, A1 = \\en,a1,a1 ,...,an \(9)

В силу специальной структуры преобразующей матрицы уравнение для вектора f(1) примет вид Af(1) = en . Заметим, что матрица A1 не особая, так как ее определитель, по теореме Лапласа, определяется формулой

detA1 = ( 1)n+1Dn 1,(10)

где Dn-1 определитель минора исходной матрицы A . Отсюда получаем, что

detF-1 = ( 1)n+1Dn 1 /Dn = ( 1)n1~fi1).(11)

Далее, действуя по индукции, рассматриваем уравнение A1 F2 1 = A2 , где матрица A2 выбрана в виде

A2 = \\en 1>en>a1>a2>-,an 2\[(12)

В этом случае задача также сводится к системе линейных уравнений вида A1 f(2) = en 1 . Так как матрица A1 не особая, то эта система линейных уравнений имеет единственное решение.

Определитель A2 , в соответствии с теоремой Лапласа, равен

detA2 = ( 1)2(n+1)Dn 2,(13)

откуда получаем, что

detF;1 = ( 1)n+1Dn 2/Dn 1 = ( 1)n1~fi2K(14)

Предположим теперь, используя индукцию, что на m -ом шаге определитель матрицы Am равен