1

представить также в другом виде: ¥(щГ,и)=вМГ{1

1 -i2+e}+em-

Р yju Р у JU\

1+(9)

Обсудим вопрос о тех значениях, которые может принимать параметр JU = (A/Z)(M/m), входящий в формулы (8)-(9). Нетрудно видеть, что величина параметра

U зависит в основном от сорта ионов плазмы и в наиболее типичных случаях она

велика: jU >> 1. Так, например, в электрон-протонной плазме, где A/Z = 1, параметр

jU = M/m = 1838. Для плазмы, состоящей из ионов, более тяжелых, чем протоны,

отношение A/Z > 2 и величина JU еще больше. Учитывая все это, мы везде ниже будем считать, что параметр /л >> 1, и введем обозначение для малой величины в = 1/л (в << 1).

Для нахождения частоты волны в ЛСО воспользуемся формулой С =2пиу/Л w. Здесь Л - пространственный период колебаний потенциала в системе волны:

Д. + d. I -

где , .+ - корни уравнения S - V(. у,/л) = 0, а V(. у,[л) определяется формулами либо (8), либо (9). Отсюда получим для величины С соотношение

с= с (£у и ) = ср0 %42(Ру)ъ32/J (£уи ),(10)

где Сро = (4ne2n0 /m)12, n0 - концентрация плазмы в ЛСО,

W

J(SM = j , d. .(11)

Формулы (10-11) в самом общем виде определяют искомую частоту колебаний продольной плазменной волны. Видно, что С зависит, во-первых, от

характеристик волны: фазовой скорости и (параметр у ) и амплитуды

электрического поля E0 (параметр S), во-вторых, от параметров плазмы: массы и заряда частиц плазмы, контролируемых параметром /л, и концентрации n0 . Зависимость частоты от концентрации тривиальна, поэтому мы ей интересоваться не

будем, а рассмотрим, как это отображено в формуле (10), зависимость С = С (S,y /л

Ниже мы найдем аналитические выражения для частоты волн

С = С (S,y,/) в разных предельных случаях. Для того, чтобы найти с, необходимо вычислить интеграл (11), для чего, в свою очередь, требуется определить пределы

интегрирования , а также досконально знать свойства подинтегрального

выражения, которое в основном определяется функцией V(. у /л). Проанализируем

коротко свойства функции V( . у, /л), а затем найдем величины , .+ .

Из аналитического выражения (8) для рассматриваемой функции V(., нетрудно видеть, что она определена в ограниченной области значений переменной

у а именно на отрезке - (у- 1) < у < ju (у- 1). Введем обозначения для граничных

значений переменной у: у* = - (у- 1), у+* = и (у - 1). На этом отрезке график

функции К(у) имеет вид ямы [10,12]. Нетрудно видеть, что значение функции У(у)

в крайней точке отрезка, где у = у+*, всегда больше, чем в другой крайней точке, где

у= у *. Отсюда следует, что максимальная глубина ямы определяется значением у *, которое, с другой стороны, является максимальным значением отрицательного

размаха потенциала. Очевидно, что при заданном значении параметра & полный

размах колебаний потенциала определяется из (8) при условии У(у ,у,() = &

Таким образом, полагая У(у у, () = & и у= у *, из (8) можно найти предельную

величину параметра & и, следовательно, предельное значение амплитуды электрического поля в волне Eom, выше которого при заданных значениях

n0, у и ji существование нелинейных волн невозможно:

&m = Eom2/(8nnmcu) = ву + иву - 4и2в2у 2 + (у-1)(2 иу + у -1). Отсюда при j >> 1 получим

&m * {1+1/[2и(у+1)]}ву/(у+ 1). Из полученных для &m формул видно, что предельная амплитуда волн определяется

в основном параметром у, а зависимостью &m от параметра jl в первом приближении можно пренебречь и положить:

&m * ву/(у+ 1) = (у- 1)/ву= [(у- 1) /(у + 1)f2(12)

Из (12) следует, что для нерелятивистских волн (в << 1, у* 1) &m ~в I 2, и,

следовательно, Eom2 = 4nnmu2 . Для релятивистских волн (у >> 1) параметр &m * 1, а Eom2 ~ 8nnmcu ~ 8nnmc2 = 8жynomc2.

При заданных значениях параметров и,у,& величину размаха колебаний потенциала получим из уравнения

виу -V(иу-у)2-и2 + ву - л1(у + у)2 -1 = &.

Отсюда можно получить искомые величины в общем виде, однако выражения для

них получаются весьма громоздкими. Полагая j >> 1 и отбрасывая малые величины, получим приближенные формулы для амплитуд отрицательного и положительного размаха колебаний потенциала в волне:

у *- виу2&/(и + 2ву&)Ц 1 + 2в 2[1/(ву&) + 2/и] - 1}, у+ * виу2&/(и + 2П&)ф+2в2[1/(ву&) + 2/и] + 1}.

Параметры & и у в эти формулы входят в комбинации у&. Как мы увидим ниже,

3. Определение зависимости С= СО(3,у,р).

эта комбинация является характерной для рассматриваемой нами задачи, поэтому введем для нее специальное обозначение p=yS. Учитывая (12), произведение параметров [3yS можно представить в виде: /уЗ & S • (у - 1),

= (Eo /

Eom)2 - отношение квадрата амплитуды электрического поля (Eo )2 к квадрату предельно возможной амплитуды в волне (Eom)2. Очевидно, что S < 1.

Так как / < 1 и S < 1, то произведение параметров /Зу£ = /Зр, входящее в

формулы для и .+ , может быть много больше единицы только при у>> 1, в

частности, неравенство /р >>U возможно только при у >> JU Для

нерелятивистских волн (/ << 1, у& 1) всегда выполняется условие /р & S • (у- 1) << 1.

Определим значение амплитуд при разных соотношениях между параметрами U, S и у. Начнем с особого случая:

I.р&/. Для нерелятивистских волн (Р<< 1, у&1) величина параметраS & / << 1, значитр << 1, а амплитуды потенциала

.+ &Р2/2 ( 2лГб + S), &-Р2/2 ( 2л[б - S).(13)

Для релятивистских волн (у >> 1, Р&1) в рассматриваемом нами случае величина

р & 1 и при любых значениях у получим:

.+ ~ ( - )&у(14)

II./р >> Jl (р >> U). При выполнении этого неравенства получим

& - у, .+ & ju у Как и следует ожидать, в данном приближении значения и .+ близки к предельным значениям и .+*. Легко видеть, что и при /р & JU >> 1 значения амплитуд и .+ по порядку величины остаются сравнимыми с .

* и .+*.

III.Рр << JU. Здесь возможны два варианта:

1)р >> 1 , что означает у >> 1 (Р&1) и для амплитуд получим:

.+ &2Рур + Ру&2ур + у,& - Ру& - у

2)р << Р < 1. В этом случае рассмотрим две возможности:

a)у >> 1, Р& 1. При этом S<< 1 /у << 1,

.+& <J22p+ ур&ул/2р, -ул/2р + ур &- у2~р(15)

b)у & 1, Р << 1. При этом S < Sm &Р/2 << 1. Это нерелятивистский случай, в котором справедливы формулы (13). Обратим внимание на то, что в

случаер << 1 при любом у параметр S << 1.