Частота нелинейных ленгмюровских волн

Г. Н. Кичигин (king@iszf.irk.ru)

Институт солнечно-земной физики СО РАН 1. Введение

Свойства плазменных волн бесконечно малой амплитуды - линейных волн - достаточно хорошо изучены [1,2]. В последнее время особенно интенсивно изучаются плазменные волны большой амплитуды. Это в основном связано с развитием новых ускорительных методов, базирующихся на использовании для ускорения частиц огромных электрических полей, существующих в продольных плазменных волнах. Плазменные волны большой амплитуды формируются в плотной плазме за счет воздействия на нее либо ультрарелятивистских пучков частиц, либо мощного лазерного излучения, либо в процессе трансформации в плазменную волну сильных электромагнитных волн, падающих на неоднородную плазму.

Впервые основополагающие результаты при исследовании нелинейных волн в плазме были получены А.И. Ахиезером и др. в работах [3-5], где рассматривались плоские волны в безграничной плазме, состоящей из электронов, которые считались холодными, и ионов, которые предполагались бесконечно тяжелыми и неподвижными. Позднее аналогичные результаты для продольных плазменных волн были получены в работе [6]. Из работ [3-6] следовало, что частота установившихся продольных плазменных волн а с увеличением

- 1/2

фазовой скорости волны u = а/ k падает как у , где k - волновое число, у = (1 - в 2 )-1/2, в = u/c, c - скорость света в вакууме.

В последнее время выяснилось, что предположение о неподвижности ионов при описании нелинейных волн со сверхбольшими амплитудами вызывает сомнение. Действительно, из работ, посвященных релятивистским волнам в плазме [7-12], а также из исследований, связанных с взаимодействием лазерного излучения с плазмой [13-14], стало ясно, что при достаточно больших амплитудах электрического поля в релятивистских волнах необходимо учитывать движение ионной компоненты плазмы. Как оказалось, учет движения ионной компоненты при изучении нелинейных плазменных волн приводит к более сложной зависимости частоты волн от скорости, чем та, которая получена в ранних работах [3-6].

В данной работе детально исследована зависимость частоты установившихся нелинейных продольных плазменных волн от параметров е, u и ц, где е - безразмерный параметр, связанный с амплитудой электрического поля в волне, u - фазовая скорость волны,

ц = AM/(Zm)-параметр, в который входят величины: m и M - массы покоя электрона и протона, соответственно, A и Z - атомное и зарядовое числа иона. В результате проведенных исследований получены аналитические выражения для частоты как функции приведенных параметров задачи.

Статья организована следующим образом. В п. 2 излагается постановка задачи и выводятся основные уравнения, в п. 3 найдены формулы для частоты волн в разных предельных случаях. Основные выводы представлены в п. 4.

2. Постановка задачи и основные уравнения

В данной работе мы будем рассматривать установившиеся периодические волны, которые будем характеризовать следующими параметрами: длина волны - Л = 2n/k, период колебаний волны - T = 2п/С, фазовая скорость волны - и = Л/T = С / k, где СО - частота волны. Наша задача заключается в нахождении зависимости

величины частоты волн С от параметров плазмы, а также от скорости и амплитуды волн. Заметим, что все вышеприведенные характеристики волн мы привели в системе отсчета, в которой невозмущенная плазма покоится. Назовем ее лабораторной системой отсчета (ЛСО). Мы же в дальнейшем все наше рассмотрение будем вести в системе отсчета волны (СОВ), в которой более понятны физические процессы, происходящие в установившейся волне. В системе волны плазма имеет концентрацию n= n0/ у и, как целое, движется относительно неподвижного профиля волны со скоростью и, при этом пространственный период волны Л = уЛ.

При выполнении условия vf >> vTe можно считать плазму холодной, что мы и будем предполагать в дальнейшем. Рассматривая одномерный случай, предположим, что волна распространяется в направлении, противоположном оси x. Отметим, что наша постановка задачи практически ничем не отличается от постановки, используемой в классических работах [3-5], за исключением того, что мы считаем массу ионов конечной и учитываем движение ионов в волне.

В системе отсчета волны, в которой решаемая нами задача является стационарной, все искомые переменные в рассматриваемом случае являются функцией только координаты x. Уравнения, необходимые для решения поставленной задачи - это уравнения Максвелла, релятивистские уравнения движения и уравнения непрерывности для электронов и ионов. Будем искать решение этих уравнений в виде периодической знакопеременной волны потенциала.

В этом случае на масштабе, равном длине волны Л, в точках, лежащих между максимумом и минимумом потенциала, электрическое поле будет иметь экстремальные значения. Из уравнения Максвелла для электрического поля E(x) dE(x)

= 4ne [(Zni(x) - ne(x)](2)

тогда следует, что в этих точках правая часть уравнения (2) будет равна нулю. Пусть координата одной из экстремальных точек x = 0, тогда в этой точке Zni(0) = ne(0) = n, E(0) = E0, где мы экстремальное значение электрического поля обозначили через E0. Без ограничения общности, в экстремальных точках положим равным нулю

потенциал волны р (x), тогда р (0) = 0.

Из уравнений непрерывности для электронов и ионов dd

- [ne(x)Ve(x)] = 0,- [m(x)Vi(x)] = 0

dxdx

следует, что ni(x) vi(x) = C1 и ne(x) ve(x) = C2, где ve(x), vi(x) - скорости электронов и ионов, соответственно, C1, C2 - константы, не зависящие от x. Эти константы найдем, полагая x = 0. В результате получим

C1 = nvi(0)/Z, C2 = nve(0), где ve(0) и vi(0) - постоянные скорости. Далее будем считать, что ve(0) = vi(0) = и, где и - скорость волны [12]. Тогда полный ток во всех точках на профиле волны будет равен нулю:

e [Zni(x)vi(x) - ne(x)ve(x)] = 0, а это означает, что в рассматриваемой волне отсутствует возмущенное магнитное поле. Обратим внимание на то, что предположение об отсутствии тока в волне используется во всех работах, посвященных нелинейным плазменным волнам [1- 6, 10-12].

Для холодной плазмы в отсутствие магнитного поля динамику движения

электронов и ионов в электрическом поле волны можно рассматривать в одночастичном приближении с помощью релятивистских уравнений движения, которые в системе отсчета волны имеют вид:

( ) dpe(x)2 dj e(x)E( )(3)

Ve(x) -- = m c -- = - e E(x),(3)

dxdx

dp.(x)2 dy t(x)

Vi(x)= A-Mc2 -J-fz = Z e E(x),(4)

dxdx

здесь Ye (x) = [1 - Ve(x)/c] )-1/2, Jt (x) = [1 - U;(x)/c] )-1/2 . Переменные

pe(x) = mve(x)ye(x), pt(x) = AMut(x)yt(x) - импульсы электронов и ионов, соответственно.

Подставляя в (3)- (4) соотношение E(x) = - d<p(x)/dx, связывающее электрическое поле с потенциалом, получим законы сохранения энергии для ионов и электронов в следующем виде:

AM с2 Ji(x) + Z e(p(x) = A M с2 J,(5)

m с2 ye(x) - e(p(x) = m c2 J.(6)

Константы в (5)-(6) мы нашли, определяя значения энергии и потенциала в точке x = 0, в которой мы приняли: ((0)=0, ve(0) = vi(0) = u.

С помощью уравнений (2-4) можно получить соотношение:

d {E2(x) /(8л) - n u [pe(x) + p,(x)/Z] } = 0, dx

из которого получим еще один закон сохранения:

E2(x) /(8л) -n u [pe(x) + p(x)/Z] = E02/(8n) - n y(AM/Z + m) u2. (7) Здесь E0= E(0) и константу мы определили при x = 0.

Система уравнений (2)-(7) позволяет позволяет найти зависимость всех переменных от x и, таким образом, достаточна для решения поставленной задачи.

Отметим, что с полученным параметром y рассматриваемая нами задача имеет физический смысл только при значениях величины скорости u, не превышающих скорости света.

Найдем с помощью выведенных нами формул выражение для частоты колебаний волны. Введем безразмерные переменные для координаты £, = xapwJe /c

и потенциала ЦК<) = e((x)/(mc2), где 0)pw = (4%e2n/m)l/2 - электронная плазменная частота в системе волны. Если выразить импульсы электронов и ионов через потенциал, что возможно сделать с помощью уравнений (5) и (6), тогда в безразмерных переменных уравнение (7) можно записать в виде:

Г(ЩГ) =£ - (dlK£,)/dZ,)2/2 =

= Pfuy -V(НУ-¥)2-И2 + ву - 4(У + ¥)2 -1 ,(8)

где переменная у/ является функцией : ц/= [ (£,), параметры ju, в, у определены

выше, параметр2/( 8nnmcu) - это значение безразмерной

плотности энергии электрического поля в точке £, = 0, в которой у = 0 и электрическое поле максимально. Формулу (8) для величины У(ц/,у,) можно