[стр.-1]
Т.к. p(Hs) = p(H0), p(H0) = П Ps, где ps - вероятность отказа s -го
pss=1
элемента, qs = 1 - ps, то (1.19) можно представить в виде
s=1ps
(7)
и
Ф
mh 0)
1 +77 - И ps =\ps +
=1p
(AH0)
ps I s=1
p(Ah 0 )qs
или
Ф
;3П(1 -Ws), где = 1 - p(AHs)
При отсутствии избыточности или при очень малой вероятности отказа устройств формула (7) вырождается в выражение
Ф = Ф1 (р) Ф2 (и)
где Ф1 (р) = p(AH0) зависит от дисперсии суммарной ошибки
элементов
ПТС (линейной комбинации их дисперсий); Ф2 (и )= p(H 0) зависит от суммы вероятностей отказов отдельных элементов ПТС.
При постоянной интенсивности отказов As отдельных элементов ПТС
ps = e s s и
s
(8)
Т.к. q s = 1 - e
Xs ts
то для элементов с высокой надежностью можно
считать qs = Xsts; тогда с той же точностью (до величины второго порядка) верно Ф2 = e~и или Ф2 = 1 - и, где
Рассмотрим упрощенную постановку задачи:
s
s
F = F0 -(aslnds +Pslnqs)- min
Пустьs(10)
ф = (1 - e-y Уи
P
p
иss
Уравнения Лагранжа для этой задачи имеют вид
dF-Л = 0; -a-Ae~ue ~y (- 1 = 0 или as = Xe - ue - yy dds ddsdsv и2 jи
a
Суммирование дает A = Xe-11 e-yy, jusds = и(11)
A
dF.-X®L = 0; -&--Xe~u (1 - e~y )= 0 или Д = Xe~u (1 - e"y )qs
Суммирование дает В = Xe "(1 - e y), и qs = - u(12)
B
Делением соотношений (12) и (11) получаем
В = (1 - e -y )u, где (1 - e-y )e ~u = P
A e~yy
Обозначая ey = z, можем записать
4>(z) = Binz - lnz-l = 0(13)
т.е. решение задачи свелось к решению конечного уравнения относительно
z, т.к. и = -, u = 1(14)
ln zz -1
Решение уравнения (13) можно найти численным методом Ньютона: а) lim 4>(z) = + х, lim W(z) = ln P < 0;
z-+1z-ОС
1 Г В
( z ln
z(z - 1)j A
z
z-1
б) 4» = -rl-\tzL-1 1 +U< 0(15)
т.к. z ln z >1 при z > 1;
z -1
в) Ч = - R + 22 -1 > 0
Az2 (z -1)3 z2 (z -1)2
т.к. R = 1 - z2 + 2z2ln z = (( - П - -1], где t = z2.
Метод Ньютона задается формулой z = zk - 4(zk), где Ч и Ч
k+1Ч (zk)
определяются соотношениями (15) и (13) соответственно.
-1 2
A2
-1
Заметим, что из формулы (13) следует ч(2) = - ln2 + ln2P > 0 при P >
поэтому можно принять z0 = 2.
Решение рассмотренной упрощенной задачи, определяемое формулами (13), (14), (11) и (12) является начальным приближением к решению общей
а Ф задана алгоритмически при
задачи когда f = V>s 11 - as ln If 1 - 0s ln %
известном упрощенном ее выражении типа ф = (1 - e y )e и .
Задача структурирования требований (ЗСТ) к показателям функционирования заключается в оптимизации некоторой функции стоимости от вектора параметров F (x) при ограничении на его выбор в виде равенства другой функции - искажений функционирования заданному значению
) = P. Решение ЗСТ сводится к решению уравнений Куна-Таккера
Г gradF = ХгасЛФ(16)
[Ф )= P
При невозможности их построения (когда Ф задана алгоритмически) или сложности их сведения к конечному уравнению целесообразно использовать итерационные процедуры решения ЗСТ, основанные на допущении о представимости F и Ф отрезками ряда Тейлора.
а) если можно принять f = F0 + (f0r)+ 2stz0s, ф = Ф0 +(Ч0£), то уравнения (16) принимают линеаризованный вид:
