i

i=1

Для оценки вероятности р по частотам элементарных событий необходимо провести серию технологических экспериментов (n1, n2.....nk),

результатом которых будет число появлений соответствующих событий (m1,m2,.......mk). Проводимые эксперименты предназначены для оценивания

различных вариантов использования производственного оборудования и корректировки технологических режимов производства продукции. Относительная ошибка в определении р будет равна:

др ЛJ дфф d

а её дисперсия d = d

k

=

i=1

гдеd

у.

2 (1 дф2

.2

ф dp

i J

k

При p = \\ pi имеем y2 = -. Общая стоимость серии экспериментов:

s = tsi,(3)

i

i=1

Косвенная оценка эффективности функционирования производственно-технологической системы

Горбунов А.А. (gorbun@sp.ru), Смирнов Ю.М. Холдинговая компания «Ленинец»

Пустьвероятностьфункционирования производственно-

технологической системы (ПТС) p = Ф(p1,p2,....pk), где pt - вероятность элементарных событий /1/. Решение системной задачи зависит от выполнения ПТС последовательности технологических операций (переходов), поэтому

p = Ш(1)

S --> min

г=1 пг

(4)

I i=1

Формальное решение задачи (в предположении о непрерывном распределении ресурсов) вытекает из уравнения Лагранжа:

- {о + л2 • s}= 0 (i=1,2,....k), или -4- + Л2 • x2 = 0

и определяется выражениями

п2

При этом

а • п = • S0(5)

(x у)

SL = л 0min = л SS

Sis 0

Непосредственно использовать формальное решение нельзя, так как в выражение (5) входят оцениваемые величины yt, но возможны и другие

варианты распределения ресурсов, не требующие априорного знания уг.

Разделение процесса косвенной оценки целесообразно распределить на ряд этапов, когда выделенные для первого этапа ресурсы распределяют в соответствии с принимаемой гипотезой о возможных значениях yt, а

характер корректировок ПТС на последующих этапах определяют с учётом промежуточных оценок для вероятностей элементарных событий pt,

полученных на предыдущем этапе.

где si = x2 • пг,х2 = аг,аг -стоимость одного эксперимента i-го типа, а пг-

число экспериментов i-го типа.

Выражения (2) и (3) позволяют сформулировать задачу минимизации дисперсии D при заданных затратах s = s0 /2/:

в первых l этапах p(/) = -- ( l=1,2,....N-1.), при /=0 необходимо принимать

гипотезу о возможных значениях y\ для вычисления а(0); так как а является

отношением (xt y.) к сумме всех таких произведений (x y), гипотеза должна

касаться взаимного распределения компонент векторов х и у:

x, y , = c x,(7)

В последнем выражении r =2 означает прямую пропорциональность компонент векторов х и y (что соответствует nt = n, то есть прямой оценке

показателя функционирования); r=1 означает равенство всех значений y . = c,

что соответствует предположению об одинаковой вероятности элементарных событий; r =0 означает обратную пропорциональность компонент векторов x и y, при которой косвенная оценка даёт максимальный эффект. В соответствии с гипотезой (7) :

а(0) = - ,

x

где xr = xr; в частности для r =1 получаем а(0) = -. ix

При оценке вероятности по частоте особое место занимают крайние

случаи m=0 и m=n. В общем случае вероятность появления m благоприятных

исходов в n опытах равнаpmn = cm pm(1 - p)nm.

Один из подходов заключается в предварительном задании суммарных затрат на каждом этапе /3/:

s0 = 0, s,+1 = s, + s(/= 0,1,2.....n -1),

где нижний индекс указывает число выполненных этапов корректировки состояния ПТС, а верхний индекс - номер конкретного этапа, к которому относится та или иная характеристика. Тогда (с использованием той же индексации) можно записать

x v(/)

а Щ+1 = а\ st+1, a-) = -J-Zl- ,(6)

(x у(/))

где y(/) определяют на основе частоты появления элементарных событий