Об идентификации математической модели развития эпизоотии

Слиденко А.М., Соловьева Т.Е., Кромина М.А. (magdalena.vrn@mail.ru)

Воронежский государственный аграрный университет им. К.Д.Глинки

Изучению процессов распространения инфекционных заболеваний посвящены работы ряда авторов ([1]-[3]). Применение метода математического моделирования с развитием вычислительной техники становится все более эффективным. Особенности конкретного заболевания конкретизируют математическую модель. Проверка согласованности модели с опытными данными в каждом случае имеет решающее значение.

В данной работе рассматривается модель распространения лейкоза в изолированной группе животных. Наличие опытных данных позволяет сформулировать задачу идентификации и найти одно из ее решений. При этом используется система программирования Mathcad.

Среди болезней сельскохозяйственных животных лейкоз занимает существенное место. Это заболевание не только приводит к гибели и преждевременной выбраковке животных, но и ставит под угрозу развитие племенных хозяйств, снижает эффективность селекционной работы и использование продуктов животноводства. В настоящее время признано, что заболевание имеет инфекционную природу, а его этиологическим фактором является вирус ВЛКРС (вирус лейкоза крупного рогатого скота). Изучение процесса заболевания в изолированной группе животных является актуальным, так как для борьбы с ним необходимо уметь прогнозировать протекание болезни.

Рассматривается большая изолированная группа животных (стадо), состоящая из N животных. В этой группе распространяется инфекционное заболевание - лейкоз. Отметим характерные особенности данного заболевания.

1. Наличие незначительного инкубационного периода.

R

Рис.1. Возможные состояния животных Следует отметить, что в данном случае предполагаются переходы: Y -» R, Y - S, G - R. Возможность таких переходов допускается в связи с искусственным введением в стадо здоровых животных и выведением из стада больных и инфицированных особей. При этом нет эмпирических данных относительно количественных характеристик таких процессов. Кроме того, предполагается малая вероятность таких переходов при данном заболевании.

2.Наличие длительной латентной стадии (промежуток времени от заражения до проявления клинико-гематологических признаков).

3.После заражения вирусом животное может служить источником передачи инфекции даже через несколько дней после инфицирования. Предполагается, что все стадо состоит из четырех групп животных,

организм которых находится в различном состоянии относительно данного заболевания.

1.Сенсибильные (восприимчивые) животные. Их число зависит от времени: S = S (t);

2.Инфицированные животные, обозначим их число через Y = Y (t);

3.Больные животные (животные, находящиеся в гематологической стадии заболевания), число таких животных обозначим G = G(t);

4.Резистентные (устойчивые к данному заболеванию), их число в момент времени t равно R = R(t).

Характер и особенности заболевания определяют возможности переходов животных из одной группы в другую по схеме, представленной на рис.1.

dt

= а- S (t) -p- Y (t -11) -y- Y (t)-S-Y (t),

- = -а- S (t) + S- Y (t) + p1 - G(t -12), dt

dS

dt

dG = p- Y (t -11)-P1 - G(t -12), dt

dR

= У- Y (t).

(1.1)

dt

В любой момент времени t справедливо равенство N = Y (t) + S (t) + G (t) + R(t),(1.2)

где N = const.

Задавая начальные условия Y(t) = Yo,S(t) = So,G(t) = Go,R(t) = Ro, t e [0;l],(1.3)

где l = max{/1, 12}, приходим к начальной задаче (1.1) - (1.3).

Применение этой модели предусматривает использование таких важнейших параметров как показатель «а» и «в», характеризующих тяжесть эпизоотической ситуации. Эти величины зависят от уровня инфицированности

Относительно интенсивностей таких переходов сделаны следующие предположения.

Скорость перехода S - Y в момент времени t пропорциональна числу сенсибильных животных в тот же момент времени. Скорость обратного перехода пропорциональна числу инфицированных особей. Интенсивность перехода Y - G в некоторый момент времени t пропорциональна числу инфицированных животных в более ранний момент времени t -11. Скорость

перехода Y - R пропорциональна общему числу инфицированных животных.

В связи с проведением гематологических исследований на лейкоз через 6 месяцев и реже, предполагается, что выбраковка больных животных G - S осуществляется с некоторым запаздыванием l2, ее интенсивность пропорциональна числу больных животных в момент времени t -12.

В результате сделанных предположений, с учетом уравнений баланса, получена система дифференциально-разностных уравнений dY