[стр.-0]
Об уравнениях движения вязкого газа
Ракогон Ю.Г. (khan@ptci.ru)
Московский физико-технический институт (государственный университет)
1. В МФТИ проводились экспериментальные исследования внутренних ламинарных течений вязкого газа в цилиндрических воздухозаборниках и круглых трубах с дозвуковыми скоростями во входных сечениях в условиях, когда еще выполняется гипотеза сплошности среды [1]. Исследования показали, что взаимное влияние вязкости и сжимаемости приводит к такому искривлению линий тока, что газ внутри канала, вблизи выходного сечения, разгоняется до сверхзвуковых скоростей. В связи с переходом через скорость звука нормальная составляющая скорости v меняет знак и возникает своеобразный эффект "отражения" газа от оси симметрии. Этот эффект по своему действию противоположен вытеснению газа от стенки из-за вязкости. По видимому, при внешнем давлении, стремящемся к нулю, звуковая линия асимптотически приближается к стенке канала. Качественная картина течения приведена на рисунке.
В поле течения, в зависимости от поведения плотности тока газа pV вдоль линий тока, можно выделить следующие характерные области:
область I, в которой д (pV)/dl < 0 (dl - элемент дуги линии тока), область II, в которой d(pV)/dl > 0,
сверхзвуковая область Ш,где так же, как и в области I, d(pV )/dl < 0.
Внутри области I существует также область, примыкающая к стенке, где газ тормозится. Максимальные значения pV на звуковой линии достигаются при изоэнтропичности перехода через скорость звука.
Вдоль всех линий тока энтропия S растет, достигает максимального значения при скорости равной скорости звука и сохраняется вдоль линий тока сверхзвуковой области.
При истечении в вакуум внутреннее течение на звуковой линии изолируется от внешних условий. И, таким образом, адиабатическое течение в трубе будет необратимым процессом в изолированной системе, ограниченной стенками трубы и звуковой линией.
Предполагаемый характер течения не противоречит законам сохранения и второму началу термодинамики, но не согласуется с уравнениями Навье-Стокса, не допускающими существования таких областей течения, где диссипация механической энергии отсутствует, если в потоке имеются деформации жидких элементов.
2.Уравнения Навье-Стокса для сжимаемого газа не достаточно универсальны в том смысле, что они не допускают непрерывного перехода в уравнения Эйлера. Поэтому, широкое распространение получили приближенные подходы, состоящие в искусственном разделении течения на пограничный слой около стенки, где влияние вязкости существенно, и невязкое течение в остальной области. В соответствии с этим подходом около стенки решаются уравнения пограничного слоя Прандтля, решения которых затем сращиваются с решениями невязких уравнений Эйлера.
Другим подходом является применение метода асимптотических разложений, когда число Рейнольдса устремляется в бесконечность, и на большей части течения влияние вязкости исчезает, а уравнения Навье-Стокса заменяются уравнениями Эйлера.
В настоящей работе предпринята попытка видоизменить уравнения Навье-Стокса, чтобы они допускали непрерывный переход в уравнения Эйлера, когда объемные вязкие силы обращаются в нуль при конечном значении числа Рейнольдса. Повидимому, если такой переход возможен, то он должен осуществляться на звуковой линии, разделяющей вязкое дозвуковое и невязкое сверхзвуковое течения .
В работе используется подход Л.Д.Ландау [2], считавшего, что для установления уравнений движения вязкого газа необходимо добавить к правым частям уравнений Эйлера объемные силы, зависящие от вязкости.
3.Среди всех допущений, лежащих в основе вывода уравнений Навье-Стокса движения вязкого сжимаемого газа (изотропность сплошной среды, инвариантность при вращении системы координат, линейная связь напряжений со скоростями деформаций), наименее убедительной представляется гипотеза Стокса о связи между коэффициентами вязкости: 3Л + 2ц = 0, где j - коэффициент вязкости деформаций сдвига, а Л - коэффициент объемной вязкости. В соответствии с этой гипотезой связь тензора напряжений с тензором скоростей
ды, ды, 2 „ ды,
деформаций имеет вид: Tik = ц
\dxk дХг 3 дХ1 J
Посуществу,
соотношение Стокса искусственно приводит к равенству нулю линейного инварианта тензора напряжений, как это имеет место в несжимаемой жидкости , тем самым, в уравнения движения могут быть привнесены некоторые свойства несжимаемости среды.
Сомнения о справедливости гипотезы Стокса выражали многие механики. Приведем высказывание Дж.Серрина [3] по этому поводу: "Аргументация Стокса в настоящее время кажется неубедительной; правда и сам Стокс позднее указывал, что он никогда не был полностью уверен в справедливости этого соотношения. Что касается кинетической теории Максвелла, то, как показал Трусделл, в ее основе лежит предположение равносильное соотношению 3Л + 2 j = 0."
Попытаемся определить связь Л(ц) из условия изоэнтропичности перехода
через скорость звука на линии тока (ось x), совпадающей с плоскостью симметрии произвольного сверхзвукового сопла. Учитывая, что вдоль линии тока (благодаря
.du dv
симметрии) нормальная компонента скорости v и производные - и - равны
dy dx
нулю, запишем систему уравнений: Навье-Стокса вдоль оси x, неразрывности и выражения для производной давления P как функции двух переменных плотности
du1 dP dTxx dTyx
p и энтропии S
du dv u dpdP
- + - +--- = 0, -
dx dy p dxdx
dx p dx dx dy
f dP dp :f dP ) dS dx
KdpJs
dS Jp dx
f dP
\dpJ S
- квадрат местной скорости звука.
dS
При M = 1 - и вязкая часть уравнения Навье-Стокса равны нулю, и, разрешая
dx
dvdv
эту систему относительно производной -, получим: -
dydy
M =1
pu dx
То есть, при M = 1 производная
dv dy
- 0. Рассмотрев далее выражение для
диссипации механической энергии E в общем виде, окончательно будем иметь:
E
\м=1
(2/1 + Л)
( du | |
v dx | M=1 J |
Поскольку производная
du dx
кривизне звуковой линии, например, [4], то
du dx
пропорциональна
> 0. Для отсутствия
диссипации механической энергии при переходе через скорость звука необходимо принять: Л = -2/и.
К такому же результату приводит и другое рассуждение. Рассмотрим выражение для нормального вязкого напряжения в несжимаемой жидкости,
например, Txx. Поскольку divV = 0, то Txx = 2 - = -2
dx
fdv + dw dy dz
Это
очевидное равенство позволяет по-разному толковать, как зависит нормальное напряжение от скоростей деформаций. С одной стороны, оно пропорционально
du
скорости удлинения элемента жидкости -, а, с другой стороны, - скорости
dx
нормальной направлению напряжения. Если
( dv dw
изменения площади
dy dz
предположить, что в газе, также как и в жидкости, нормальные вязкие напряжения пропорциональны скоростям изменения площадей перпендикулярных направлениям напряжений, то будем иметь, например:
~ du I
dx
du dv dw
- + - +-
dx dy dz
(
-2/
dv dw +
dy dz
u
M =1
