Построение асимптотического решения задачи об авторезонансе. Внешнее разложение.1

Гарифуллин Р.Н. (grustem@gmail.com)

Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН

1 Введение

Постановка задачи. В данной работе исследуется нелинейное уравнение второго порядка, возмущенное быстро осциллирующей функцией с малой амплитудой:

d2U/Ф(т )\

- + V(u) = ef (т)cos - , t> 0, 0 <e < 1, т = et.(1.1)

dt2\ e J

В качестве фазы возмущения берется функция -(т) = т - т3ф(т),ф(0) = 0; здесь f(т),ф(т) - гладкие (бесконечно дифференцируемые) функции. Считается, что точка и = 0 является точкой устойчивого равновесия невозмущенного уравнения. Рассматривается случай общего положения V" (0) = 0. Без ограничения общности полагаем, что V"(0) = 1. Рассматриваются решения, которые в начальный момент находятся вблизи нуля:

(и + u)t=0 = O(e1/3), e - 0.(1.2)

Для таких решений ставится задача о построении асимптотики при e - 0, пригодной на большом временном интервале 0 < t < O(e-1). Особый интерес представляют решения, амплитуда которых нарастает со временем до величин порядка Назовем такие решения авторезонансными.

Авторезонансом принято называть явление значительного роста амплитуды колебаний нелинейных систем под действием малого возмущения [1, 2, 3]. Подобные эффекты возникают и играют важную роль в ряде физических систем, например, в ускорителях релятивистских частиц [4, 5, 6]. Рассматриваемые решения описывают явление авторезонанса.

Из вида исходного уравнения (1.1) видно, что если главный член асимптотики имеет порядок O(1),e - 0, то он представляет собой решение невозмущенного уравнения. В работе [7] было построена полное асимптитическое решение в виде ряда по целым степеням e:

те

и = W (-(т )/e, т) + £ ek Uk (-(т )/e, т ),e - 0. fc=i

1Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 03-01-00716, Научные Школы 1446.2003.1, INTAS 03-51-4286.

Все коэффициенты этого разложения были определены однозначно. Однако, результаты работы [7] не позволяют оценить количество решений такого типа. Эта проблема решается в данной статье.

Предпринятые ранее исследования выявили неоднородную по времени структуру решения. В рассматриваемой задаче было обнаружено явление схожее с начальным погранслоем. Для небольших времен t <С е-1 было получено полное двухпараметрическое асимптотическое решение - так называемое внутреннее разложение.

В данной работе дается конструкция асимптотического решения для далеких времен е-1/3 <С t < O(e-1). Такие асимптотики принято называть внешним разложением, если следовать терминологии метода согласования [8]. Главный член асимптотики определяется аналогично [7]. Структура поправок определяется из соображения согласования с внутренним разложением. В процессе построения используется идеи метода усреднения Крылова-Боголюбова [9] и нелинейного метода ВКБ [10].

Сформулируем основной результат для главного члена асимптотики: Теорема 1. Пусть 3V(4)(0) - 5(V"(0))2 = 0 и выполнены условия

f2, s192ф(0)

f2(0) >--> 0

J {J) 3V(4)(0) - 5(V"(0))2

Тогда существует асимптотическое решение уравнения (1.1) следующего вида:

u(t,e) = w(a/uj(A),A) + O(e),e - 0, е-2/3 < t < O(e-1).

Здесь w(t,A) решение невозмущенного уравнения,

а = е-1Ф(т) + Пс(г) + O(e1/12), A = Aq(t ) + O(e7/12), т = et.

Функции Q0(t), A0(t) определяются из алгебраических уравнений. Два произвольных параметра содержатся в старших поправках разложения для а, A.

Основная часть данной работы посвящена конструкции старших поправок. В работе строится полное асимптотическое решение в виде ряда по степеням е.

2 Решение невозмущенного и линеаризованного уравнения.

Конструкция внешнего разложения основаны на семействе периодических решений невозмущенного уравнения:

В этом разделе описывается двухпараметрическое семейство таких решений.

Поскольку уравнение (2.1) является автономным, то один произвольный параметр содержится в сдвиге фазы. В качестве второго параметра можно выбрать любой из первых интегралов. В данной работе из соображений согласования с внутренним разложением удобно выбрать полную амплитуду первой основной гармоники колебаний.

Для решений этого уравнения можно доказать следующее утверждение:

Лемма 1. Для уравнения (2.1) существует 2-х параметрическое семейство решений w(t; A,t0) = W(a, A), где функция W(a, A) гладкая по A 2п периодическая по переменной a = u(A)t +10, полная амплитуда первой основной гармоники - A и сдвиг фазы t0 являются произвольными параметрами.

Доказательство утверждения следует из интегрируемости уравнения (2.1). Гладкость по A в окрестности нуля A G [0,A0] можно показать, воспользовавшись гладкостью решения уравнения по начальным данным [11].

Для функций W(a,A),u(A) методом Ляпунова-Пуанкаре [11] может быть построена асимптотика при A - 0. Эта асимптотика имеет следующий вид:

W i,,A) = A cos a+A2V(cos2a-3)+A(V "(0) + V 4(0)) cos3a+O(A4), (2.2)

12192

uj(A) = 1 + A (3V 4)(0) - 5(V"(0))2) + O(A4), A - 0.(2.3)

48

Также можно показать, что ui(A) - четная функция A. Для энергии невозмущенных колебаний

E = и2 (A)(dW + V (W) при A - 0 верна асимптотика:

E (A) = A- + AA- (27V 4)(0) - 37(V,,,(0))2) + O(A5), A - 0. 2 576

Для всех приведенных функций существует полное асимптотическое разложение в виде рядов по целым степеням A.

Описанное в лемме решение будет использоваться в качестве главного члена внешнего разложения при подходящей модуляции амплитуды A и сдвига фазы t0.

При построении асимптотичекого решения существенную роль играют решения неоднородных линеаризованных уравнений, правая часть которых является 2п периодической функцией a. Эти уравнения имеют следующий вид:

u2(A)52Q + V"(W(a; A))Q = G(a; A),(2.4)

здесь W(a; A) - решение нелинейного уравнения (2.1), G(a; A) - 2п периодическая функция a, зависимость от параметра A возникает в правых частях уравнений (2.4) и, следовательно, в решении Q(a; A).

Ведем обозначения, в терминах которых удобно исследовать линеаризованное уравнение (2.4):