Введем, согласно исходным уравнениям (1), парциальные расстройки в слагаемые -,

dt

составляющие угловую скорость суммарного вектора. Выпишем отдельно члены, содержащие 8 :

jr Z ( S a n) 8.

После вынесения за скобки общего множителя - модуля S - внутри скобок остается сумма проекций на него всех парциальных векторов. Это суммирование, по определению, имеет результатом опять-таки величину S . В итоге множитель при расстройке обращается в единицу, что интуитивно и предполагалось. С введением безразмерного времени величина 8 заменяется отношением 8 / J и уравнение (3) приобретает вид

d(Ps =8/ xy sin($n -(s ) - Tn cos(n -(s )(4)

Сравним вид полученного уравнения для угловой скорости суммарного вектора (4) с видом исходных уравнений для угловых скоростей парциальных векторов (1).

Парциальный вектор стремится к ориентации в направлении суммы juS + Лк. Наличие расстройки 8 приводит к угловой поправке, пропорциональной отношению 8 к возвращающей силе jS + Ak \.

Суммарный вектор стремится к ориентации в одном из промежуточных направлений, лежащих между направлениями индивидуальных векторов воздействий кк.

Наличие расстройки приводит к угловой поправке, пропорциональной отношению расстройки к возвращающей силе

T2 +1

n

Отметим, что в последнем случае возвращающая сила, обусловленная ангармонизмом функции F(x), оказывается значительно меньше, чем в первом случае, где

возвращающая сила линейно связана с аргументами в каждом парциальном уравнении. Этой разницей в величинах возвращающих сил объясняется сделанный ранее вывод о том, что расстройка приводит главным образом к повороту всей векторной конфигурации, в то время как отклонение парциальных векторов от векторных сумм jUs + хк остается малозаметным [1].

Примечательно, что анализ динамического режима позволяет уточнить представление о стационарных режимах. Дополнительно к представлению о «жесткости»

конфигурации в режимах без расстроек появляется основание для того, чтобы распространить понятие «жесткости» и на режимы с расстройками. В отношении динамики имеется в виду преобладание внутренних сил над внешними и, как результат, сравнительно быстрая перестройка парциальных векторов на фоне медленного поворота конфигурации в целом. В отношении статики имется в виду практическая неизменность конфигурации при всех допустимых расстройках, единственным результатом которых является поворот конфигурации как целого. В связи с этим мы приходим к заключению об универсальности понятия «жесткости» применительно к векторной конфигурации в исследуемой системе. Два аспекта в поведении системы - статический и динамический - оказываются неразрывно связаны, поскольку стационарный режим с расстройкой эквивалентен переходному процессу с непрерывным равномерным изменением фазы сигнала. Суммарный вектор следует за сигнальным вектором с некоторым отставанием, и когда величина отставания достигает границы сектора устойчивости, процесс становится нестационарным.

Особо примечателен тот факт, что фазовый портрет системы с произвольным числом АГ, построенный в результате анализа ее динамического режима, позволяет определять стационарные положения суммарного вектора в диапазоне допустимых расстроек, а также определять максимально допустимые расстройки без длительных процедур интегрирования системы (1). Впервые значения максимально допустимых расстроек были получены в [1] путем прямого интегрирования системы (1) с подбором величин 8 , соответствующих границе существования устойчивого решения. Результаты представлены на графике рис. 1. Для наглядности в качестве аргумента на графике выбрано отношение амплитуды внешнего сигнала Л к ее предельной величине jlN/2, а в

качестве функции - корень N-й степени из максимальной расстройки, нормированной относительно масштабного коэффициента j . В таком представлении получаются

зависимости, достаточно близкие к пропорциональным, что и позволяет сделать вывод о степенной зависимости полосы синхронизации от амплитуды сигнала. Отметим, что для случая N = 2 имеет место точная пропорция.

5/

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

0,0

0,2

0,40,6

2Л/ц N

0,8

1,0

Рис. 1

Благодаря результатам анализа динамического режима аналогичные результаты получаются значительно проще. Согласно (4), предельная расстройка равна максимуму функции F(x), определить который не составляет труда. Остается установить связь

между аргументом x = k/jlS формулы (4) и аргументом2 Л / jjN. Для этого

воспользуемся результатами расчета стационарных режимов [1],где получена формула, связывающая величины S и Л:

juS + Лcosвk

s = 1

Приводим ее к аргументу X:

S = 1

1 + x cos в.

yjl + x2 + 2x cos вк

S(x,N),

после чего искомая связь между аргументами приобретает вид

2Л/ juN = 2 xS (x, N)/N.

Обозначим максимум функции F(x) величиной M(x,N) . Варьируя параметр x, получаем

заданную в параметрической форме зависимость максимальной относительной расстройки M(x,N) от амплитуды внешнего сигнала 2xS(x,N)/N . На рис. 2 приведены

графики таких зависимостей для различных N.