Можно переписать выражение (7.46), обозначив ЦоРу.;)символом С,<о,):

,=0

Q0,m О**,

Qo.i

Орд

1

Рис. 7.9. Интерполяция заданных точек Подстановка значений q = 0...т в выражение (7.47) дает

%.о =£c,(v0)NtJt(iip);

1=0

=ZCj(p1),t(M,));

(7.47)

(7.48)

i=0

Подставив значения p = 0...П в первую строку выражения (7.48), мы получим задающие точки Cj(v0) (i = 0, 1,п) В-сплайна, интерполирующего точки Qo,0, Qi,o,

Qo..... Qo, - первой горизонтальной кривой на рис. 7.10. Аналогично, С,(с,)

(i = 0, 1, и) - задающие точки В-сплайна, интерполирующего точки Qo.i, Q,,, Q, 1,.... Qj,!, - второй горизонтальной кривой на том же рисунке, и т. д. Эти задающие точки интерполяционного В-сплайна получаются методом, описанным в разделе 6.7.2.

Теперь вычислим задающие точки Pv- по С,(а9) (q = 0, 1, га). Для этого запишем определение Ct(vq) еще раз:

С,К) = 1Р,.,Л,).(7.49)

у=0

Если теперь подставить значения q = 0...га в формулу (7.49), мы обнаружим, что Ру - задающие точки В-сплайиа, интерполирующего точки С,(а0), C;(#i), -, Ci(vm). В частности, точки P0j - это задающие точки В-сплайна, интерполирующего C0(v0), С0(с,).....C0(vm), крайние слева точки на рис. 7.10.

Приведем краткое описание процедуры вывода значений Pw-:

□заданные точки интерполируются В-сплайном в одном направлении (рис. 7.10);*

□задающие точки В-сплайнов, полученных на первом этапе, интерполируются в поперечном направлении: берутся i-e задающие точки всех В-сплайнов из

первого этапа и интерполируются В-сплайном. Задающие точки нового В-

сплайна будут Р,-,о, P,,i, Р,,2..... Р.\т- Повторив эту процедуру для всех i от 0

до и, мы получим все задающие точки Pw.

Рис. 7.10. Точки C,{vq), получаемые интерполяцией в направлении и

Получив все задающие точки интерполяционной поверхности, мы должны определить порядки k и / и узловые значения в направлениях и и v соответственно. Чаще всего используются поверхности степени 3 по и и v, поэтому обычно берутся значения k = l=A. Мы знаем, что узловые значения получаются в процессе вывода интерполяционной кривой (см. раздел 6.7.2). Таким образом мы получаем га + 1 наборов узловых значений в направлении и от всех интерполяционных кривых с рис. 7.10. Из этих наборов можно получить один путем усреднения. Другими словами, i-e узловое значение получается усреднением i-x узловых значений из каждого из га + 1 наборов. Узловые значения в направлении v получаются аналогичным образом.

7.9. Пересечение поверхностей

В этом разделе мы займемся вычислением кривых пересечения поверхностей. Из-за внутренних ограничений численных методов мы будем искать точки на кривых пересечения. Мы уже говорили, что кривые пересечения поверхностей нужны нам для реализации булевских операций. Кривые пересечения требуются также для реализации отсечения поверхностей другими поверхностями в системах поверхностного моделирования. Мы кратко изложим основные идеи, лежащие в основе алгоритмов для расчета кривых пересечения поверхностей, заданных параметрическими уравнениями. Мы рассматриваем только параметрические уравнения, поскольку именно они чаще всего используются для представления поверхностей.

Методы расчета кривых пересечения поверхностей могут быть разделены на два класса. Методы первого класса состоят в численном решении приведенного ниже нелинейного уравнения:

P(H,a)-Q(s,O = 0,(750)

где Р(м,с) и Q(s,£) - параметрические уравнения пересекающихся поверхностей. Уравнение (7.50) распадается на три скалярных уравнения с четырьмя неизвестными: и, v, s и t. Решение этой системы требует присвоения произвольного значения одному из параметров. При этом получаются значения параметров, соответ-

•вующие точке на кривой пересечения. Изменение выбранного произвольного гачения дает все остальные точки кривой пересечения. Недостаток этого мето-i в том, что его сходимость зависит от начальных приближений неизвестных в >авнении (7.50) [49]. Более того, он не всегда позволяет найти все кривые пере-•чения. Другими словами, при больших интервалах изменения произвольно за-изаемого параметра некоторые кривые могут быть потеряны полностью, а неко->рые - частично.

[етоды из второй категории основаны на теории последовательного деления [37]. аждая поверхность последовательно делится на множество частей до тех пор, эка каждая из них не будет представлять собой нечто близкое к плоскому четы-;хугольнику. Затем четырехугольники одной поверхности проверяются на пе-гсечение с четырехугольниками другой поверхности. В результате получаются ары пересекающихся четырехугольников, а точки прямых, по которым они пе-гсекаются, дают хорошее начальное приближение для уравнения (7.50). Одна-э может оказаться непросто проверять пары четырехугольников в правильной □следовательности так, чтобы точки пересечения образовывали кривые. Для реодоления этой проблемы был предложен альтернативный подход [124, 90]. методе Пенга из всех четырехугольников пересекающихся поверхностей выби-ается лишь одна пересекающаяся пара, которая дает первый сегмент кривой пе-есечения. Один из концов этого сегмента берется в качестве начальной точки, г которой производится поиск следующей точки пересечения. Другими сло-ами, ищется новая пара четырехугольников, которая даст соседний сегмент ривой пересечения, одним из концов которого будет начальная точка поиска, [ересечение новой пары четырехугольников даст две точки, одна из которых бе-ется в качестве нового конца кривой, от которого начинается поиск следующей ары четырехугольников. Пенг хранил четырехугольники в квадрантном дереве1 quadtree), предложенном Саметом [135] для повышения эффективности поиска оседней пары. Процедура поиска продолжается до тех пор, пока не будет до-гигнута одна из границ поверхности, после чего поиск начинается с другого кон-а первого сегмента. Точные координаты точек пересечения получаются реше-ием уравнения (7.50) с использованием концов сегментов в качестве начально-о приближения. Эта процедура повторяется со всеми начальными сегментами о тех пор, пока не будут найдены все кривые. В приложении К мы расскажем, аким образом следует искать все сегменты кривых пересечения.

Методы, основанные на теории последовательного деления, требуют большего бъема вычислений по сравнению с методами первого класса, но зато они реже ропускают кривые пересечения. В приложении К мы рассмотрим расчет пере-ечения NURBS-поверхностей по методу Пенга.

вопросы и задачи

- Коническая поверхность получается вращением отрезка, соединяющего точки (2, 0, 0) и (1, 2, 0) вокруг оси у на 180°.

Квадрантное дерево представляет собой двумерный аналог октантного дерева. Прямоугольник, описывающий исходный объект, последовательно делится на четыре части до тех пор, пока не будет достигнуто нужное разрешение.

1)Получите параметрическое уравнение конической поверхности. Предпо-, ложите, что изменение параметра и перемещает точку по окружности на

плоскости, перпендикулярной оси у, а параметр с изменяет положение окружности относительно этой оси.

2)Аппроксимируйте коническую поверхность бикубическим лоскутом. Другими словами, вы должны вывести матрицу геометрических коэффицен-тов для формулы (7.18).

3)Вычислите координаты точки бикубического лоскута, соответствующей значениям параметров и = 0,5 и v = 0,5, и сравните ее с результатом вычисления по точному параметрическому уравнению.

2. Представьте поверхность, изображенную на приведенном ниже рисунке, билинейной поверхностью.

z

1)Определите Pi(s) и РгСя), описывающие окружность при изменении s от 0 до 1.

2)Представьте коническую поверхность функцией r(s,t), осуществляющей линейное сопряжение P,(s) и P2(s). Пусть параметр с также меняется от 0 до 1.

3)Подставьте значение г = 0,5 в функцию r(s,t) и объясните, что при этом получается.

3. Аппроксимируйте поверхность, ограниченную тремя дугами (см. рисунок), при помощи лоскута Куна.

Z

Центры всех дуг расположены в начале координат. Вы можете разделить окружность, лежащую в плоскости ху, в точке (0, 1, 0), чтобы получить четыре граничные кривые. Уравнения граничных кривых следует записывать аккуратно, чтобы их направление соответствовало принятому при выводе уравнения лоскута Куна.

4. Цилиндрическая поверхность получается сдвигом дуги, лежащей в плоскости ху, вдоль оси г на 4 единицы (см. рисунок). Радиус дуги в четверть окружности равен 1, а ее центр находится в точке с координатами (0, 0, 0). Выполните следующие действия.

(0,1,0)

У

х

1)Выведите точное параметрическое уравнение цилиндрической поверхности. Определите параметры и и v так, чтобы они давали всю поверхность при изменении от 0 до 1.

2)Аппроксимируйте цилиндрическую поверхность лоскутом Куна.

3)Аппроксимируйте цилиндрическую поверхность бикубическим лоскутом.

4)Аппроксимируйте цилиндрическую поверхность лоскутом Ферпосона.

5)Сравните поверхности из предыдущих пунктов с точной поверхностью в средней точке параметров иис.

5.Представьте цилиндрическую поверхность из пункта 4 в форме NURBS. Вы должны определить узловые значения и порядки в направлениях иис,а также координаты задающих точек (в том числе однородные).

6.Представьте цилиндрическую поверхность из пункта 4 уравнением Безье.

1)Аппроксимируйте четверть окружности кривой Безье, определяемой тремя задающими точками.

2)Определите задающие точки поверхности Безье.

3)Сравните координаты точки, соответствующей средним значениям параметров, с результатами из пункта 4.

Глава 8

Метод конечных элементов

В современном проектировании широко используются различные программные пакеты автоматизированного конструирования (computer-aided engineering - CAE), позволяющие оценивать проекты на каждом этапе процесса разработки. Средства CAE позволяют анализировать кинематику или динамику поведения проектируемого агрегата. К этой категории относятся такие пакеты, как ADAMS и DADS (см. главу 2). С точки зрения этих пакетов каждый компонент агрегата рассматривается как тело с сосредоточенной массой. В некоторых случаях средства CAE позволяют определить распределение напряжений или температур в механических компонентах, рассчитанных на физическую или тепловую нагрузку. Возможно также проведение вибрационного анализа компонента, на который будет воздействовать динамическая нагрузка. Перечисленные задачи решаются при помощи средств анализа методом конечных элементов. Примерами коммерческих программ конечноэлементного анализа являются NASTRAN и ANSYS (см. главу 2).

На заре своего существования метод конечных элементов применялся главным образом в строительной механике. Словосочетание конечный элемент (finite element) появилось в статье Клофа [36], где предлагалось применять новый метод для анализа напряжений в плоскостях. Многие коммерческие пакеты, основанные на методе конечных элементов, изначально предназначались для решения строительных задач. Однако вскоре стало ясно, что методы конечных элементов имеют более широкую область применения: задачи теплопереноса, распределения электростатического потенциала, механики жидкостей, вибрационного анализа и многие другие. С ростом вычислительных возможностей компьютеров расширился диапазон и возросла сложность задач, доступных решению методом конечных элементов. Применение метода конечных элементов к дверной ручке холодильника для расчета распределения температуры при заполнении формы для литья под давлением жидкой пластмассой демонстрирует рис. 8.1. В качестве примеров программ для решения задач механики жидкостей методом конечных элементов можно привести пакеты C-MOLD и MOLDFLOW, предназначенные для моделирования течения жидкого пластика в форме для литья под давлением.

Главное отличие метода конечных элементов от динамического или кинематического анализа заключается в том, что в первом область задачи рассматривается как непрерывное пространство (континуум), а во втором - как набор дискретных (сосредоточенных) элементов. В этой главе мы изучим основные концепции средств анализа методом конечных элементов. Мы не станем уделять внимание