J

договоренность можно принять, основываясь па принципе математической статистики, в соответствие с которым маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Этот принцип можно реализовать следуют образом. Так, условились, что различие между проверяемой гипотезой и результатом наблюдений статистически значимо, если вероятность его случайного появления меньше некоторого критерия значимости, основанного на использовании заранее заданного его уровня. При этом уровни значимости (например, 5- или 1%-ный) определяют лишь систему договоренности. В понятии «уровень значимости» не искать какого-то другого более глубокого смысла. После того, как договоренность принята, становится очевидным ослаб-jesiiie отмеченной асимметрии в проверке гипотезы, так как теперь отдельный отрицательный результат не опровергает гипотезу, если только полученный результат не выходит за границы критерия значимости.

Таким образом, общий подход к решению задач статистической проверки гипотез сводится, во-первых, к выбору исходной нулевой гипотезы Нй и альтернативной гипотезы Ht, во-вторых, к введению в рассмотрение некоторого критерия значимости и . При этом критерий ц должен определяться набором известных параметров и быть критичным по отношению к проверяемой гипотезе. Последнее требование означает, что условные плотности распределения <p (hJ/Q и (piOJ) должны существенно отличаться друг от друга.

После выбора критерия проверки и необходимо выявить область практически возможных (допустимых) значений этого критерия. Вероятность попадания критерия в область допустимых значений будем характеризовать доверительной вероятностью Р , достаточно близкой к единице (на практике значение Р принимается в диапазоне 0,9 0,99). Тогда вероятность а выхода случайной величины и за границы области допустимых значений, т.е. вероятность iо-пзда;nia в так называемую критическую область, будет достаточно мала, так как а = 1 - Ра. Значение этой вероятности, которую называют уровнем значимости критерия проверки, лежит, как правило, в диапазоне 0,01 ... 0,1. Границы критической области имеют название критических границ. Они определяются выбранным уровнем значимости, а также способом задания области. Критическая область может быть задана

128

тремя различными способами, при этом, исходя из способа задания, она бывает односторонней (соответственно правосторонней или левосторонней ) или двухсторонней.

На основании принципа практической уверенности попадание критерия и в область допустимых значений следует рассматривать как событие практически достоверное, а противоположное событие - попадание в критическую область - как практически невозможное. Если полученное в результате проведенного эксперимента значение критерия оказалось в критической области, то исходнуюследует опровергнуть, так как она противоречит экспериментальным данным. Если же вычисленное и попало в область допустимых значений, то нет основания утверждать о несовместимости результатов экспе-и принятой гипотезы и, следовательно, делать вывод о песправедливости последней.

Из приведенных рассуждений вытекает следующая общая схема (текст) статистической проверки любой гипотезы:

1)сформировать проверяемую и альтернативную гипотезы;

2)назначить уровень значимости а;

3)выбрать критерий значимости иа для проверки гипотезы Ни;

4)определить выборочное распределение tpuJHj при условии, чтогипотеза

5)в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы

определить критическую область и установить ее границы;

6} провести эксперимент, получить выборку наблюдений и по их результатам определить значение

7) принять статистическое решение.

принимаемое на основе критерия значимости, может быть ошибочным. Пусть выборочное значение критерия йй попадает в критическую область и гипотеза отклоняется в соответствии с критерием. Если тем не менее гипотеза верна, то принимаемоеневерно. Ошибка, совершаемая при

отклонении правильной гипотезы #0 , называется ошибкой первого рода. Очевидно, вероятность ошибки первого рода равна попадания критерия в критическую область при условии, что верна гипотеза //,, т.е. равна vposnro значимости а

9-1740

129

Однако было бы неверно на основании этого делать вывод о

том, что значение вероятности (уровень значимости) должно быть

выбрано как можно меньшим. Причину этого легко установить, если исходить из предположения, что верна конкурирующая гипотеза И:. Таким образом, если принимается гипотеза Н0 , но в действительности верна альтернативная гипотеза Ht, то совершаемая в этом случае ошибка называется ошибкой второго рода. Вероятность ошибки второго рода можно вычислить по формуле

Вотметим, что критическая область

исходя из требования, чтобы вероятность попадания в нее критерия была равна при условии, что нулевая гипотеза справедлива. Оказывается целесообразным ввести в рассмотрение вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что нулевая гипотеза неверна и, следовательно, справедлива альтернативная гипотеза Н{.

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна альтернативная гипотеза.

Отметим, если для проверки гипотезы принят определенный

уровень значимости, то все же остается произвол в выборе критической области. Покажем, что ее целесообразно построить так,

чтобы мощность критерия была максимальной. Предварительно поясним, если вероятность ошибки второго рода равна \\, то мощность равна 1~р. Действительно, если (3 - вероятность ошибки второго рода, т.е. «принята нулевая гипотеза, причем справедлива альтернативная», то мощность критерия равна 1-В. Поэтому, если мощность 1-В возрастает, то уменьшается вероятность 3 совершить ошибку второго рода. Таким образом, если уровень значимости уже выбран, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной.

Решение современных прикладных задач связывают с внедрением в процесс исследований методологии моделирования. Данная методология отвечает требованиям современной парадигмы, основанной на концепции информационных технологий и мате-

130