доказательства и интуитивноео нем

достаточны для многих целей, по и здесь практика нуждается в теории.

Доказательство - логическая процедура, обеспечивающая логическую выводимость из высказываний, истинность которых уже установлена [13, 56]. Тем самым относительно выражения с неизвестным истинностным значением исчезают всякие сомнени -доказательство вынуждает признать его истинность. Логическая теория доказательства в основе своей проста и доступна, хотя ее детализация требует специального символического языка и другой изощренной техники современной логики. Под доказательством в логике понимается процедура установления истинности некоторого утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже известна и из них вытекает первое. В доказательстве различаются тезис - утверждение, которое нужно доказать; основание (аргументы) - те положения, с помощью которых доказывается тезис; и логическая связь между аргументами и тезисом. Форма логической связи между основаниями и тезисом называется демонстрацией. Понятие доказательства всегда предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляются преобразования утверждений в ходе доказательства. Типичным примером доказательства может служить любое математическое рассуждение, по результатам которого принимается некоторая новая теорема. В нем эта теорема выступает в качестве тезиса; ранее доказанные теоремы и аксиомы, используемые при обосновании тезиса, - в качестве аргументов, а демонстрация представляет собой некоторую форму дедукции.

Доказательство - это правильное умозаключение с истинными посылками. Логическую основу каждого доказательства (его схему) составляет логический закон. Доказательство - это всегда в определенном смысле принуждение. Источником «принудительной силы» доказательств являются логические законы мышления, лежащие в их основе. Именно данные законы, действуя независимо от воли и желаний человека, заставляют в процессе доказательства принимать одни утверждения вслед за другими и отбра-сывагьто, что несовместимое принятым. Задача доказательства -исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого тезиса. Раз в доказательстве речь идет о полном подтверждении, связь между аргументами и тезисом должна иметь дедуктивный харак-

107

тер. По форме доказательство - дедуктивное умозаключение шея цепочка таких умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемому положению.

Все доказательства делятся по структуре, по общему ходу мысли на прямые и косвенные. При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. Косвенные доказательства устанавливают справедливость тезиса тем, что вскрывают ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

В построении прямого доказательства можно выделить два связанных между собою этапа: отыскание тех признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление

логической связи между найденными аргументами и тезисом.

Нередко первый этап считается подготовительным, и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным. Поскольку косвен! toe доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного. Наиболее распространенными разновидностями косвенного доказательства являются апагогическое (от греч. apagogos - уводящий, отводящий) и разделительное доказательства. При апагогическом доказательстве (оно называется также доказательством «от противного») устанавливается ложность антитезиса, т.е. высказывания, противоречащего тезису. Обычно это делается так. Сначала антитезис принимается за истинный, и из него выводятся следствия. Если хотя бы одно из полученных следствий вступает в противоречие с наличными истинными суждениями, то следствие признается ложным, а затем и сам антитезис, породивший данное следствие. Таким образом, тезис является истинным. При разделительном доказательстве истинность тезиса устанавливается путем исключения всех противостоящих ему альтернатив.

108

Например, то, что объем данного тела равен объему другого тела, можно доказать, установив, что он не меньше и не больше объема другого тела. Таким образом, косвенное доказательство проходитэтапы: выдвигается антитезис и из него выводятся следствия снайти среди хотя бы одно ложное; устанавливается, что в числе следствий действительно есть

ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из ложности антитезиса делаетсячто тезис является истинным.

Принято считать, что переход от менее развитого к более развитому научному знаниюоднако данное определение не вполне корректно. При традиционном понимании индукции ей дедукцию (от лат.-выведение), которая либо как переход от теории к фактам. либо как переход (выведение) от общих (универсальных) высказываний к менее общим (частным, сингулярным) высказываниям. Обычно индукцией называют либо переход от фактов к теории, либо переход от сингулярных высказываний к универсальным. В нервом случае научное мышление искусственно привязывается к постулируемой противоположности фактов и теории (с одной стороны, факты, с другой - теории). Но эта противоположность надумана. Во втором случае индукции придается исключительно логический характер - характер исчисления высказываний.

Традиционное истолкование индукции фиксирует ее как переход от фактов к теории. В соответствии с многомерностью фактов и теории индукция также приобретает многомерный характер. Переход от фактов к теории распадается на три перехода: бытийный уровень,или психоло-

гический уровень, лннгзпсм;часы:й.. точнее, логико-лингвистический уровень [14, 56]. Такая дифференциация традиционного понимания индукции позволяет обобщить обширный материал по истолкованию природы научного поиска. Проблема индукцииуже в античности, прежде всего Аристотелем. Он полагал, что чувствами познается единичное, но никак общее. Однако «из многократного повторения еди-личного становится явным общее» [57]. Налицо типичный индуктивный довод, истинность которого Аристотелем не обосновывается. Общее, по Аристотелю, постигается не чувствами, а мышлением. «Например, если бы мы видели, что прозрачный камень просверлен и пропускает свет, то для нас было бы ясно также и

109