делметск эффективностью модели ir;po:..is-r.уры алгоритма, метода и т.п.) получения вывода па основе обработки эмпирических данных.

При этом необходимо исходить из того, что средством познания природы, как объективной реальности, являются органы чувств человека и измерительные приборы, как техническое дополнение органов чувств. Приборы определяют информацию пропорционально измеряемой величине и разрешающей способности прибора (цене деления шкалы измерительного прибора). Следовательно, чем точнее прибор, тем больше информации (при прочих равных условиях) можно получить с его помощью. Таким образом, информация об исследуемых свойствах зависит не

только от объективных факторов, но и от субъективного выбора параметра, характеризующего чувствительность прибора. Поэтому для установления эмпирической истинности методами наблюдения, измерения, эксперимента необходимы гносеологические предпосылки чувственного познания. К ним относятся упрощения и огрубления действительно зависящие от разрешающих

способностей ощущений и восприятия субъекта, или так называемых «порогов» ощущений. Заметим, что с помощью технических средств эти «пороги» можно изменять, но не беспредельно. Кроме того, говорить об эмпирической истинности суждений можно только тогда, когда предмет, о котором судят, и свойство, которое ему приписывают, являются материальными, так как абстрактные (нематериальные) объекты чувственно восприниматься не могут.

Аналитическая истинность связана со смыслом и значением терминов, входящих в суждение. Поэтому основной гносеологической предпосылкой методов установления этого вида истинности является отвлечение (а тем самым - и независимость) от чувственного восприятия объекта как от несущественного. Существенным в данном случае будет уже понятийное описатгае (дескрипция) как тех объектов, о которых судят, так и тех свойств и отношений, которые этим объектам приписывают. Иначе говоря, здесь совершенно неважно, воспринимает субъект или не воспринимает эти объекты чувственно; важно лишь то, что субъект имеет их описания или определения. На их основе субъект и оценивает истинность суждения. Как правило, формальные теории

всегда состоят из некоторых специфических аксиом (арифметики, геометрии и т.п.), логических аксиом и правил. Другими сло-

101

вами, логика является необходимой частью всякой формальной

теории. Поэтому в классе аналитически истинных предложений (суждений) можно выделить подкласс логически истинных предложений, истинность которых устанавливается только на основе смысла логических терминов («и», «или», «если..., то...», «не», «все», «некоторые» и т.п.).

Из теоремы К. Гёделя о полноте формализованной логики (исчисления предикатов первого порядка) следует, что все логически истинные предложения (логические истины, или законы логики) могут быть описаны конечной системой аксиом и правил логического исчисления. Это значит, что, какое бы мы ни взяли логически истинное по содержанию предложение, его форма будет представлять формальные предложения, принадлежащие указанному логическому исчислению (т.е. это предложение будет доказуемо в данном исчислении из принятых аксиом и правил). Подобное обстоятельство свидетельствует о семантической

полноте логического исчисления или о том, что всякая логическая истина выражается в логическом исчислении.

Иначе обстоит дело с «математическими истинами», даже с истинами самой простой из математических теорий арифметики натуральных чисел (теории о натуральных числах О, 1, 2, их сложении, умножении и т.п. операциях). Так, теорема К. Гёделя о неполноте формализованной арифметики натуральных чисел утверждает, что никакой конечной системой аксиом формальной арифметики нельзя выразить все истинные предложения со

держательной арифметики натуральных чисел, т.е. в этом смысле

никогда нельзя выразить «арифметических истин» полностью. Иначе говоря, формальная арифметика семантически неполна, не способна через форму логических предложений выразить все арифметические истины (истины аналитические фактуальные). При этом требования логики не следует возводить в ранг абсолюта, так как в рамках идеи построения логических и математических объектов существует развивающееся конструктивистское направление. Данное направление в математике возникло в форме интуиционизма и в историческом плане многократно модифицировалось. Для исключения логпко-математических противоречий конструктивистский метод оказался эффективным средством. Так, в частности, не одним, а несколькими способами удалось доказать непротиворечивость формальной арифметики [41]. Эти доказательства существенно ослабляют значение теорем

102

К. Геделя. Согласно его второй теореме непротиворечивость арифметики недоказуема. Она действительно недоказуема при тех методах, которые использовал К. Гёдель. Но она доказуема при других методах, в частности, в рамках конструктивизма. При этом как те, так и другие методы, не без успеха используются в математике и логике. Поэтому требования, которые предъявляются, допустим, к математике одним из ее направлений — логицизмом, формализмом, конструктивизмом, неправомерно возводить в ранг абсолюта [6].

Из сказанного можно сделать вывод, что истины логические и истины математические принципиально различны относительно формализации (и аксиоматизации) логики и математики. Логические истины выра зимы конечной системой аксиом, а математические - невыразимы. На этой базе можно сделать вывод о качественном различии аналитической истинности: истины аналитические логические качественно отличаются от истин аналитических фактуальных, в том числе и математических. Правда, теоремы К. Гёделя лишь косвенно свидетельствуют об этом различии по способности теорий быть, конечно, аксиоматизируемыми. Однако уже этот семантический подход в логике и математике дает возможность утверждать, что по основанию истинности логика и математика принципиально различны и ни одна из них не является частью другой. Дальше этого вывода семиотический анализ не идет. Но гносеологический анализ может идти дальше, с его помощью можно показать, что логические и математические истины основаны на качественно различных гносеологических предпосылках. Истинность математических истинных, но не являющихся логически истинными предложений, называемых фактуально (фактически) истинными предложениями, устанавливается на основе смысла не только логических, но и дескриптивных (описывающих специфические объекты действительности) терминов. Отсюда следует, что логическая истинность основана на более сильных гносеологических предпосылках, т.е. на более сильных упрощениях и идеализациях суждений, чем фактуальная истинность, так как для ее установления не требуется даже анализа смысла дескриптивных терминов, входящих в эти предложения. Но в таком случае установление логической истинности предложения, называемого законом логики, не зависит от знания (или незнания) конкретной специфики объектов, так как логические термины не содержат об этой специфике информацию.

103