jfc!ищется оригиналом, а замещающий - моделью. Слово «модель» происходит от латинского modus (копия, очертание). Под моделями в широком смысле этого слова понимают сооружения, установки, устройства, различные комбинации элементов сооружения или сумму логических представлений, воспроизводящих явления или группу явлений, подобных изучаемым. При этом

«модель», «моделирование» в различных сферах знания

и человеческой деятельности чрезвычайно разнообразны. Не касаясь общих вопросов моделирования, рассмотрим модели, предназначенные для решения поставленной задачи средствами математики, т.е. математические модели.

Математическая модель является приближенным, выраженным в математических терминах представлением объектов, концепций, систем или процессов [43]. В математическую модель входят следующие элементы:(зависимые или независимые); константы или фиксированные параметры, определяющие степень связи переменных между собой; математические выра-жепня (уравнения или неравенства, объединяющие между собой. переменные и логические выражения, определяющие

различные ограничения в модели; информация (алфавитно-цифровая или графическая). Таким образом, математическая модель

представляется в абстрактной математической форме посредством переменных, параметров, уравнений и неравенств. Общая классификация математических моделей производится по следующим признакам: поведению моделей во времени; видам входной информации, параметров и выражений, составляющих математическую модель; структуре математической модели; типу используемого математического аппарата.

Согласно данной классификации математические модели

бывают динамическими (время играет роль независимой переменной, и поведение системы меняется во времени); статическими, или установившегося состояния (поведение от времени не зависит); квазистатическими (повеление системы меняется от одного статического состояния к другому согласно внешним воздействиям). Элементами математической модели являются переменные, параметры, связи (математические) и информация. При этом если эти элементы достаточно точно установлены и поведение системы можно точно определить, то модель - детерминированная, в противном случае - стохастическая. Если информация и параметры являются непрерывными величинами, а математические

65

связи устойчивы, то модельвслучае -

дискретная. Если параметры модели фиксированы и не изменяются в процессе моделирования согласно поведению объекта моделирования, то это модель с фиксированными параметрами, в противном случае - с изменяющимися во времени или в пространстве параметрами. Параметры являются распределенными, если есть одна или несколько независимых пространствештых переменных (степеней свободы), а остальные параметры и математические связи зависят от них. Математические модели с распределенными параметрами чаще всего имеют математические

связи в виде дифференциальных уравнений, а модели с сосредоточенными параметрами - в виде разностных уравнений. Если

модель включает обыкновенные дифференциальные уравнения

(которые имеют место в распределенных статических моделях, в динамических моделях с сосредоточенными параметрами) или дифференциальные уравнения в частных производных (которые имеют место в распределенных динамических моделях с одной или более независимой переменной), то это еще не значит, что поставленная задача решена. Для решения необходимы дополнительные условия: начальные - для динамических проблем с производными относительно времени, граничные - для проблем с производными относительно пространственных координат. Дифференциальные уравнения, представляющие собой модель, обычно сводятся к разностным уравнениям, удобным для численного решения на ЭВМ. В этом случае проблема сводится к решению алгебраических уравнений. Математическая модель может быть сложной и комплексной, если можно найти элементарные подсистемы, составляющие ее. Это очень важный вопрос, поскольку его решение позволяет значительно упростить моделирование, например, технологических структур, особенно если модель можно представить в виде древовидной или сетевой структуры. Древовидной называется структура, которая имеет ветви и не имеет замкнутых путей или контуров. При образовании хоть одного контура, структура становится сетевой. Если имеется древовидная или сетевая структура, то связи между подсистемами и элементами модели можно описать специальной матрицей с коэффициентами нуль и единица. Матрица, отражающая структуру соединения элементов модели между собой, называется матрицей инциденций. Теория графов (динамических гиперграфов) служит математическим аппаратом для построения подобных моделей.

66

Процесс создания (и решения) любой математической модели является итерационным и условно включает следующие шаги:

1)постановку задачи моделирования согласно намеченному объекту моделирования, т.е. разработку технического задания;

2)выбор метода построения математической модели;

3)разработку численного алгоритма решения полученной модели;

4)написание программы, реализующей численный алгоритм, отладку программы, котгтрольные расчеты;

5)проведение расчетов для получения выходных параметров;

6)проверку модели на адекватность;

7)поиск новой модели при значительном расхождении расчетных и экспериментально полученных параметров и переход к шагу 3.

Эти шаги тесно связаны между собой, и поэтому их расчленение является до некоторой степени искусственным. Так, математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения математической задачи. В процессе проведения математического исследования или интерпретации решения может понадобиться уточнить или даже существенно изменить математическую модель. Умение правильно выбрать математическую модель находится на грани науки и искусства [44]. Оно требует не только необходимых математических и прикладных знаний и опыта но также вкуса и чувства соразмерности. Вопрос об общих методах построения математических моделей очень

сложен и мало разработан. При этом моделирование - сложный метод, включающий в свой состав разнообразные методы исследования (наблюдение, измерение, эксперимент и синтез, абстрагирование и др.).

Стр уктурный подход - содержанием его является познание структуры, внутренней взаимосвязи компонентов целостной системы. Познание структуры позволяет выявить многообразие

связей компонентов целого, выделить среди них существенные и

несущественные, необходимые и случайные. Раскрытие структуры позволяет понять конкретное место, роль и значение компо-нептов в целом, их взаимодействие, вскрыть факторы существования целого, внутренний механизм его функционирования, путь взаимодействия с внешней средой.

Функциональный подход основан на рассмотрении не конкретной реальной формы исследуемого объекта, а комплекса функций, которые он выполняет или должен выполнять. Функции

5*

67